Anàlisi del Moviment d’un Ventilador en Frenada

Un ventilador les aspes del qual mesuren 30 cm està situat al sostre girant a 140 r.p.m. Un tall de llum fa que el ventilador s’ature, després de 25 segons. Calcula: – Acceleració angular – Espai recorregut en l’extrem d’una aspa fins que s’atura i el nombre de voltes efectuat – Valors de velocitat lineal, acceleració tangencial, normal i total als 15 segons del tall de llum

Dades inicials:

• Radi de l’aspa: \( r = 0,30 \, \text{m} \)

• Velocitat angular inicial: \( \omega_0 = 140 \, \text{rpm} \)

• Temps fins a aturar-se: \( t = 25 \, \text{s} \)

• Velocitat angular final: \( \omega = 0 \, \text{rad/s} \)

1. Acceleració angular (\( \alpha \))Convertim \( \omega_0 \) de rpm a rad/s: \[\omega_0 = 140 \cdot \frac{2\pi}{60} = \frac{140 \cdot 2\pi}{60} = \frac{280\pi}{60} \approx 14,66 \, \text{rad/s}\]L’acceleració angular es calcula amb: \[\omega = \omega_0 + \alpha t\]Com que \( \omega = 0 \): \[0 = 14,66 + \alpha \cdot 25\]\[\alpha = \frac{-14,66}{25} \approx -0,586 \, \text{rad/s}^2\]

Acceleració angular: \(-0,586 \, \text{rad/s}^2\) (negatiu perquè és una frenada).

2. Espai recorregut i nombre de voltesL’angle recorregut (\( \theta \)) es calcula amb: \[\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2\]Substituint: \[\theta = 14,66 \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot (-0,586) \cdot 25^2\]\[\theta = 366,5 – 0,293 \cdot 625\]\[\theta = 366,5 – 183,125 \approx 183,375 \, \text{rad}\]

Espai recorregut en l’extrem de l’aspa: L’espai lineal \( s \) és: \[s = r \cdot \theta = 0,30 \cdot 183,375 \approx 55,01 \, \text{m}\]

Nombre de voltes: \[\text{Nombre de voltes} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{183,375}{2 \cdot 3,1416} \approx 29,19 \, \text{voltes}\]

3. Valors als 15 segons del tall de llum- Temps des del tall: \( t = 15 \, \text{s} \) – Velocitat angular inicial: \( \omega_0 = 14,66 \, \text{rad/s} \) – Acceleració angular: \( \alpha = -0,586 \, \text{rad/s}^2 \) Velocitat angular (\( \omega \)) a \( t = 15 \, \text{s} \): \[\omega = \omega_0 + \alpha t = 14,66 + (-0,586) \cdot 15\]\[\omega = 14,66 – 8,79 = 5,87 \, \text{rad/s}\]

Velocitat lineal (\( v \)): \[v = \omega \cdot r = 5,87 \cdot 0,30 \approx 1,76 \, \text{m/s}\]

Acceleració tangencial (\( a_t \)): \[a_t = \alpha \cdot r = -0,586 \cdot 0,30 \approx -0,176 \, \text{m/s}^2\]

Acceleració normal (centrípeta) (\( a_n \)): \[a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(1,76)^2}{0,30} \approx \frac{3,10}{0,30} \approx 10,33 \, \text{m/s}^2\]

Acceleració total (\( a \)): \[a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(-0,176)^2 + (10,33)^2}\]\[a = \sqrt{0,031 + 106,71} \approx \sqrt{106,74} \approx 10,33 \, \text{m/s}^2\](La component tangencial és molt petita, així que l’acceleració total és dominada per l’acceleració normal.)

Resposta final:

• Acceleració angular: \(-0,586 \, \text{rad/s}^2\)

• Espai recorregut: \(55,01 \, \text{m}\), Nombre de voltes: \(29,19\)

• Als 15 segons: Velocitat lineal: \(1,76 \, \text{m/s}\), Acceleració tangencial: \(-0,176 \, \text{m/s}^2\), Acceleració normal: \(10,33 \, \text{m/s}^2\), Acceleració total: \(10,33 \, \text{m/s}^2\)