Càlcul de la Distància Orbital de Mart amb la 3a Llei de Kepler

Mesurem el període orbital del planeta Mart al voltant del Sol i determinem que és de $687$ dies. Determina la distància entre Mart i el Sol sabent que la distància entre la Terra i el Sol és de $1,496 \times 10^{11} \, \text{m}$.

Període de Mart al voltant del Sol: $T_{\text{M}} = 687 \, \text{dies}$
Distància Terra-Sol: $r_{\text{T}} = 1,496 \times 10^{11} \, \text{m}$

Volem saber la distància entre Mart i el Sol (radi de l’òrbita de Mart) servant-nos de la 3a llei de Kepler, que sovint sabem que el període per servir la Terra al voltant del Sol és $T_{\text{T}} = 365,25 \, \text{dies}$.

Utilitzant la 3a llei de Kepler tenim:

$$\frac{T_{\text{M}}^2}{r_{\text{M}}^3} = C$$
$$\frac{T_{\text{T}}^2}{r_{\text{T}}^3} = C$$

Si dividim membre a membre ambdues equacions, obtenim:

$$\frac{T_{\text{M}}^2}{T_{\text{T}}^2} = \frac{r_{\text{M}}^3}{r_{\text{T}}^3}$$

Les constants es van cancel·lar, d’on podem aïllar $r_{\text{M}}:$

$$r_{\text{M}} = \sqrt[3]{\frac{T_{\text{M}}^2}{T_{\text{T}}^2}} \cdot r_{\text{T}} = \sqrt[3]{\frac{687^2}{365,25^2}} \cdot 1,496 \times 10^{11} \, \text{m}$$

$$r_{\text{M}} = 1,52 \cdot 1,496 \times 10^{11} = 2,28 \times 10^{11} \, \text{m}$$