Massa de la Lluna i intensitat del camp gravitatori

L’any $1969$, el mòdul de comandament Columbia, de la missió Apollo $11$, tripulat per l’astronauta Michael Collins, orbitava a $100$ km d’altura sobre la superfície de la Lluna amb un període de $118$ minuts. Mentrestant, Neil Armstrong i Edwin Aldrin, els altres dos tripulants, caminaven sobre la Lluna. Calculeu: a) La massa de la Lluna i la intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar. b) La velocitat d’escapament des de la superfície lunar.

Dades:
$G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2\text{kg}^{-2}$
$R_{\text{Lluna}} = 1,74 \times 10^3 \, \text{km}$

El radi de l’òrbita és:

$$R = R_{\text{L}} + R_h = 1,74 \times 10^8 + 1,5 \times 10^5 = 1,84 \times 10^8 \, \text{m}$$

La relació entre el radi de l’òrbita i el període resulta:

$$R^3 = \frac{\text{GM}_{\text{th}}}{4\pi^2} \cdot T^2$$

D’aquí podem determinar la massa de la Lluna:

$$M_{\text{L}} = \frac{4\pi^2 R^3}{\text{G} T^2} = \frac{4\pi^2 (1,84 \times 10^8)^3}{6,67 \times 10^{-11} (7800)^2}$$

$$M_{\text{L}} = 7,36 \times 10^{22} \, \text{kg}$$

L’acceleració de la gravetat a la superfície:

$$g = \frac{\text{GM}_{\text{th}}}{R^2} = \frac{6,67 \times 10^{-11} \cdot 7,36 \times 10^{22}}{(1,74 \times 10^6)^2}$$

$$g = 1,62 \, \text{m/s}^2$$

Velocitat d’escapament:

$$v_{\text{e}} = \sqrt{\frac{2 \text{GM}_{\text{th}}}{R}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \times 10^{-11} \cdot 7,36 \times 10^{22}}{1,74 \times 10^6}}$$

$$v_{\text{e}} = 2375 \, \text{m/s}$$