Caiguda Lliure d’un Cos des de l’Inifinit: Anàlisi Gravitatori

Es deixa caure lliurement un objecte des d’una distància «infinita» respecte d’un planeta de radi $R_P$. Es demana:

a) Calcula la massa del planeta si la intensitat del camp gravitatori a la seva superfície és $g_0$.
b) Determina la velocitat amb què l’objecte arriba a la superfície del planeta.
c) Calcula la velocitat de l’objecte en passar per un punt $A$ on la gravetat val $\dfrac{g_0}{2}$.

Dades:

• $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$
• $g_0 = 9{,}8 \, \text{m/s}^2$
• $R_P = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m}$

a) Massa del planeta

Sabem que el camp gravitatori a la superfície ve donat per: $$g_0 = \frac{G M}{R_P^2} \quad \Rightarrow \quad M = \frac{g_0 R_P^2}{G}$$

Substituïm els valors:$$M = \frac{9{,}8 \cdot (6{,}37 \cdot 10^6)^2}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \frac{9{,}8 \cdot 4{,}058 \cdot 10^{13}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} \approx 5{,}96 \cdot 10^{24} \, \text{kg}$$

🔹 Resposta a) $\boxed{M \approx 5{,}96 \cdot 10^{24} \, \text{kg}}$

b) Velocitat en arribar a la superfície

Conservació de l’energia mecànica (energia potencial + energia cinètica). L’objecte cau des del repòs a l’infinit, on $E = 0$. En arribar a la superfície: $$0 = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M m}{R_P} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R_P} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 G M}{R_P}}$$

Substituïm: $$v = \sqrt{ \frac{2 \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}96 \cdot 10^{24}}{6{,}37 \cdot 10^6} } \approx \sqrt{1{,}249 \cdot 10^8} \approx 11170 \, \text{m/s}$$

🔹 Resposta b) $\boxed{v \approx 11{,}2 \cdot 10^3 \, \text{m/s} = 11{,}2 \, \text{km/s}}$

c) Velocitat al passar per un punt amb $g = \dfrac{g_0}{2}$

Sabem que el camp gravitatori a una distància $r$ és: $$g = \frac{G M}{r^2} \Rightarrow \frac{g}{g_0} = \frac{R_P^2}{r^2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{R_P^2}{r_A^2} \Rightarrow r_A = R_P \cdot \sqrt{2}$$

Ara apliquem conservació de l’energia entre infinit i el punt $A$: $$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{r_A} = \frac{G M m}{R_P \cdot \sqrt{2}} \Rightarrow v = \sqrt{ \frac{2 G M}{R_P \cdot \sqrt{2}} }$$

Substituïm: $$v \approx \sqrt{ \frac{7{,}957 \cdot 10^{14}}{6{,}37 \cdot 10^6 \cdot 1{,}414} } \approx \sqrt{8{,}823 \cdot 10^7} \approx 9394 \, \text{m/s}$$

🔹 Resposta c) $\boxed{v_A \approx 9{,}39 \cdot 10^3 \, \text{m/s} = 9{,}39 \, \text{km/s}}$

Resum Final