Anàlisi d’una Barra Homogènia Subjecta a una Articulació i una corda

Una barra homogènia de longitud $L$ i massa $m$ està subjecta a una paret mitjançant una articulació sense fregament (en el punt $O$) i una corda subjecta al seu extrem (veure figura). Determinar:
(a) Dibuixar les forces que actuen sobre la barra i expressar les equacions perquè el sistema estigui en equilibri.
(b) Les components de la reacció en l’articulació i la tensió de la corda.
En un determinat moment es talla la corda:
(c) Determinar l’acceleració angular de la barra just en el moment de tallar la corda.
(d) Utilitzant raonaments energètics, determinar la velocitat angular de la barra quan arriba a la posició vertical.
Dades: $\phi_0 = 30^\circ$, $\beta = 45^\circ$, $g = 10 \, \text{m/s}^2$, $L = 4 \, \text{m}$, $m = 50 \, \text{kg}$, $I_{CM} = \frac{1}{12} m L^2$.

---

---

(a) Forces i equacions d’equilibri

Forces que actuen sobre la barra:

1. Pes ($mg$): Actua verticalment cap avall al centre de massa ($L/2$).
   $$mg = 50 \cdot 10 = 500 \, \text{N}.$$
2. Tensió de la corda ($T$): Actua al llarg de la corda, amb components $T_x = T \cos\beta$ i $T_y = T \sin\beta$. Com $\beta = 45^\circ$:
   $$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
3. Reacció de l’articulació ($R_x, R_y$): Forces horitzontal ($R_x$) i vertical ($R_y$) en $O$.

Equacions d’equilibri:

• Forces en $x$ ($\sum F_x = 0$):
  La tensió $T$ té component horitzontal $T \cos\beta$, cap a la paret (esquerra, negativa).
  $$R_x – T \cos\beta = 0 \implies R_x = T \cos 45^\circ = T \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
• Forces en $y$ ($\sum F_y = 0$):
  Component vertical de $T$: $T \sin\beta$, cap amunt.
  $$R_y + T \sin\beta – mg = 0 \implies R_y = mg – T \sin 45^\circ = 500 – T \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
• Parelles respecte a $O$ ($\sum \tau = 0$, antihorari positiu):
• Parella del pes: Actua al centre de massa. Distància perpendicular a $O$: $(L/2) \sin(90^\circ – \phi_0) = (L/2) \cos\phi_0$.
  $$\tau_{mg} = – mg \frac{L}{2} \cos\phi_0 = – 500 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = – 1000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = – 500\sqrt{3} \, \text{N·m}.$$
• Parella de la tensió: La tensió actua a l’extrem ($L$). L’angle entre la barra i la corda és $90^\circ – \phi_0 + \beta = 90^\circ – 30^\circ + 45^\circ = 105^\circ$. Component perpendicular: $T \sin 105^\circ$. Parella:
  $$\tau_T = T L \sin 105^\circ = T \cdot 4 \cdot \sin(105^\circ) = T \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ + 45^\circ) = T \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}.$$
  Simplifiquem $\sin 105^\circ$:
  $$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$$
  $$\tau_T = T \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = T (\sqrt{6} + \sqrt{2}).$$ Equació de parelles:$$
  T (\sqrt{6} + \sqrt{2}) – 500\sqrt{3} = 0 \implies T = \frac{500\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}.
  $$Racionalitzem:$$
  T = \frac{500\sqrt{3} (\sqrt{6} – \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} – \sqrt{2})} = \frac{500\sqrt{3} (\sqrt{6} – \sqrt{2})}{6 – 2} = \frac{500\sqrt{3} (\sqrt{6} – \sqrt{2})}{4}.
  $$ $$T = 125 \sqrt{3} (\sqrt{6} – \sqrt{2}) \approx 125 \cdot 1.732 \cdot (2.449 – 1.414) \approx 125 \cdot 1.732 \cdot 1.035 \approx 224.1 \, \text{N}.$$

---

(b) Components de la reacció i tensió

• Tensió ($T$):
  $$T \approx 224.1 \, \text{N}.$$
• Reacció $R_x$:
  $$R_x = T \cos 45^\circ = 224.1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 224.1 \cdot 0.707 \approx 158.4 \, \text{N}.$$
• Reacció $R_y$:
  $$R_y = 500 – T \sin 45^\circ = 500 – 224.1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 500 – 158.4 \approx 341.6 \, \text{N}.$$

Resposta:

• $T \approx 224.1 \, \text{N}$.
• $R_x \approx 158.4 \, \text{N} ), ( R_y \approx 341.6 \, \text{N}$.

---

(c) Acceleració angular just després de tallar la corda

Quan es talla la corda, $T = 0$. L’única parella és la del pes.
Moment d’inèrcia respecte a $O$:

$$I = I_{CM} + m \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12} m L^2 + m \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12} m L^2 + \frac{1}{4} m L^2 = \frac{1 + 3}{12} m L^2 = \frac{1}{3} m L^2.$$

$$I = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot 4^2 = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot 16 = \frac{800}{3} \, \text{kg·m}^2.$$

Parelle del pes:
$$\tau = mg \frac{L}{2} \cos\phi_0 = 500 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = 1000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3} \approx 866 \, \text{N·m}.$$

$$\tau = I \alpha \implies \alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{500\sqrt{3}}{\frac{800}{3}} = 500\sqrt{3} \cdot \frac{3}{800} = \frac{1500\sqrt{3}}{800} = \frac{15\sqrt{3}}{8} \approx \frac{15 \cdot 1.732}{8} \approx 3.25 \, \text{rad/s}^2.$$

Resposta:
$$\alpha \approx 3.25 \, \text{rad/s}^2.$$

---

(d) Velocitat angular a la posició vertical (raonament energètic)

$$E_i = E_f$$

$$m g \left( \frac{L}{2} + \frac{L}{2} \sin \phi_0 \right) = \frac{1}{2} I_0 \omega^2$$

$$m g \left( \frac{L}{2} + \frac{L}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m L^2 \omega^2$$

$$\omega = \sqrt{\frac{9g}{2L}} = 3.35 \, \text{rad·s}^{-1}$$

---

Resum Final

(a) Forces: Pes ($500 \, \text{N}$), tensió $T$, reacció ($R_x, R_y$). Equacions resoltes.

(b) $T \approx 224.1 \, \text{N}$, $R_x \approx 158.4 \, \text{N}$, $R_y \approx 341.6 \, \text{N}$.

(c) Acceleració angular: $\alpha \approx 3.25 \, \text{rad/s}^2$.

(d) Velocitat angular: $\omega = \sqrt{\frac{9g}{2L}} = 3.35 \, \text{rad·s}^{-1}$.