Càlcul del Moment d’Inèrcia i Energia d’una Varilla en Rotació

Calcular el moment d’inèrcia d’una varilla prima de 100 g de massa i 60 cm de longitud, respecte a un eix que passa pel seu centre de gravetat, perpendicular a l’eix de la varilla.
(b) Quines parelles de masses iguals i de petites dimensions, unides una a cada extrem de la varilla, farien duplicar el moment d’inèrcia?
(c) Quina hauria de ser l’energia necessària per posar en rotació la varilla així carregada, a 100 r.p.m. al voltant d’aquest eix, en absència de fregaments, i quin parell de forces serà necessari per anul·lar aquest gir en 10 s?

Dades:

• Massa de la varilla: $m = 100 \, \text{g} = 0.1 \, \text{kg}$.
• Longitud de la varilla: $L = 60 \, \text{cm} = 0.6 \, \text{m}$.
• Velocitat de rotació: $100$ r.p.m.
• Temps per anul·lar el gir: $10$ s.

---

(a) Moment d’inèrcia de la varilla respecte al centre de gravetat

El moment d’inèrcia d’una varilla prima respecte a un eix perpendicular que passa pel seu centre de massa (centre de gravetat) es calcula amb la fórmula:

$$I = \frac{1}{12} m L^2.$$

Substituïm els valors:

$$m = 0.1 \, \text{kg}, \quad L = 0.6 \, \text{m},$$

$$I = \frac{1}{12} \cdot 0.1 \cdot (0.6)^2 = \frac{1}{12} \cdot 0.1 \cdot 0.36 = \frac{0.036}{12} = 0.003 \, \text{kg·m}^2.$$

Resposta:
El moment d’inèrcia de la varilla és $I = 0.003 \, \text{kg·m}^2$.

---

(b) Masses per duplicar el moment d’inèrcia

El moment d’inèrcia inicial és $I = 0.003 \, \text{kg·m}^2$. Volem que el moment d’inèrcia total sigui el doble:

$$I_{\text{total}} = 2 \cdot I = 2 \cdot 0.003 = 0.006 \, \text{kg·m}^2.$$

Afegim dues masses iguals $M$ (una a cada extrem de la varilla). La distància de cada massa al centre de gravetat és $\frac{L}{2} = 0.3 \, \text{m}$. El moment d’inèrcia de cada massa respecte al centre de gravetat és:

$$I_{\text{massa}} = M \left(\frac{L}{2}\right)^2 = M (0.3)^2 = M \cdot 0.09 \, \text{kg·m}^2.$$

Com hi ha dues masses, el moment d’inèrcia total de les masses és:

$$I_{\text{masses}} = 2 \cdot M \cdot 0.09 = 0.18 M \, \text{kg·m}^2.$$

El moment d’inèrcia total del sistema (varilla + masses) és:

$$I_{\text{total}} = I_{\text{varilla}} + I_{\text{masses}} = 0.003 + 0.18 M.$$

Igualem al valor desitjat:

$$0.003 + 0.18 M = 0.006,$$

$$0.18 M = 0.003 \implies M = \frac{0.003}{0.18} = \frac{1}{60} \, \text{kg} = 0.01667 \, \text{kg} = 16.67 \, \text{g}.$$

Resposta:
Cal col·locar dues masses de $M \approx 16.67 \, \text{g}$ (una a cada extrem) per duplicar el moment d’inèrcia.

---

(c) Energia per posar en rotació i parell per anul·lar el gir

Energia per posar en rotació a 100 r.p.m.

El moment d’inèrcia total del sistema (varilla + masses) és $I_{\text{total}} = 0.006 \, \text{kg·m}^2$.
La velocitat angular es converteix de r.p.m. a rad/s:

$$100 \, \text{r.p.m.} = 100 \cdot \frac{2\pi}{60} = \frac{100 \cdot 2\pi}{60} = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47 \, \text{rad/s}.$$

L’energia cinètica rotacional és:

$$E = \frac{1}{2} I_{\text{total}} \omega^2,$$

$$\omega = \frac{10\pi}{3},$$

$$\omega^2 = \left(\frac{10\pi}{3}\right)^2 = \frac{100\pi^2}{9} \approx \frac{100 \cdot 9.87}{9} \approx 109.67,$$

$$E = \frac{1}{2} \cdot 0.006 \cdot 109.67 \approx 0.003 \cdot 109.67 \approx 0.329 \, \text{J}.$$

Resposta:
L’energia necessària és $E \approx 0.329 \, \text{J}$.

Parell per anul·lar el gir en 10 s

Hem de reduir la velocitat angular de $\omega = \frac{10\pi}{3} \, \text{rad/s}$ a $0$ en $10$ s. L’acceleració angular necessària és:

$$\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{0 – \frac{10\pi}{3}}{10} = -\frac{10\pi}{3 \cdot 10} = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047 \, \text{rad/s}^2.$$

El parell ((\tau)) necessari es calcula amb:

$$\tau = I_{\text{total}} \alpha,$$

$$\tau = 0.006 \cdot (-1.047) \approx -0.00628 \, \text{N·m}.$$

El mòdul del parell és:

$$|\tau| \approx 0.00628 \, \text{N·m}.$$

Resposta:
El parell necessari és $|\tau| \approx 0.00628 \, \text{N·m}$.

---

Resum Final

(a) Moment d’inèrcia de la varilla: $I = 0.003 \, \text{kg·m}^2$.
(b) Masses necessàries: $M \approx 16.67 \, \text{g}$ a cada extrem.
(c) Energia per rotació: $E \approx 0.329 \, \text{J}$; parell per anul·lar: $|\tau| \approx 0.00628 \, \text{N·m}$.