Derivació d’una Espiral Logarítmica a partir de la Longitud de l’Arc

Trobar la corba que tingui la propietat que la longitud de l’arc comprès entre dos punts $P$ i $Q$ de la corba, és proporcional a la diferència de les distàncies des d’aquests punts fins a un punt fixat $O$.

Si es fixa el punt $P$, l’arc $QP$ variarà proporcionalment a la diferència entre $OQ$ i la constant $OP$. Introduïm coordenades polars prenent el punt $O$ com a pol i $OP$ com l’eix polar (figura). La diferencial de l’arc de corba en coordenades polars és

$$(ds)^2 = (dr)^2 + (r \, d\varphi)^2$$

D’aquí segueix que

$$k^2 (dr)^2 = (dr)^2 + (r \, d\varphi)^2,$$

o bé

$$d\varphi = \frac{\sqrt{k^2 – 1}}{r} \, dr$$

Integrant, trobem $r = C e^{a\varphi}$ (una família d’espirals logarítmiques).