Cabal d’aigua a través del venturí a partir de la lectura d’un manòmetre diferencial de mercuri

En el venturí de la figura, la lectura del manòmetre diferencial de mercuri és $45{,}1\ \text{cm}$. Determineu el cabal d’aigua que circula a través del venturí si es desprecien les pèrdues entre A i B. Recordeu que la densitat relativa del mercuri és $13{,}6$.

Dades

• Diàmetre secció ampla $A$: $d_A=48\ \text{cm}=0{,}48\ \text{m}$
• Diàmetre gola $B$: $d_B=22\ \text{cm}=0{,}22\ \text{m}$
• Cotes: $z_A=0{,}75\ \text{m},; z_B=1{,}50\ \text{m}$ (no calen per la simplificació que farem)
• Lectura manòmetre: $\Delta h = 45{,}1\ \text{cm}=0{,}451\ \text{m}$ (diferència vertical entre superfícies de Hg)
• Densitat relativa Hg: $\rho_{Hg}/\rho_{w}=13{,}6$ → $\dfrac{\rho_{Hg}-\rho_w}{\rho_w}=13{,}6-1=12{,}6$
• $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$

Procés

Aplicant Bernoulli entre A i B (sense pèrdues) i la relació hidrostàtica del manòmetre diferencial (tenint en compte la diferència de densitats), s’arriba a la relació:

$$\frac{1}{2}\big(v_B^2 – v_A^2\big) = g\Big(\frac{\rho_{Hg}-\rho_w}{\rho_w}\Big)\Delta h$$

Amb continuïtat $v_A=\dfrac{Q}{A_A},; v_B=\dfrac{Q}{A_B}$. Per tant:

$$Q^2!\left(\frac{1}{A_B^2}-\frac{1}{A_A^2}\right)=2g\left(\frac{\rho_{Hg}-\rho_w}{\rho_w}\right)\Delta h$$

i finalment

$$Q=\sqrt{\dfrac{2g\big(\dfrac{\rho_{Hg}-\rho_w}{\rho_w}\big)\Delta h}{\dfrac{1}{A_B^2}-\dfrac{1}{A_A^2}}}.$$

Càlcul numèric

Àrees:

$$A_A=\frac{\pi d_A^2}{4}=\frac{\pi(0{,}48)^2}{4}=0{,}18\ \text{m}^2$$
$$A_B=\frac{\pi d_B^2}{4}=\frac{\pi(0{,}22)^2}{4}=0{,}04\ \text{m}^2$$

Factor densitats: $\dfrac{\rho_{Hg}-\rho_w}{\rho_w}=12{,}6$.

Numerador:

$$2g\cdot 12{,}6 \cdot \Delta h = 2\cdot 9{,}81 \cdot 12{,}6 \cdot 0{,}451 \approx 111{,}5$$

Denominador:

$$\frac{1}{A_B^2}-\frac{1}{A_A^2}\approx 661{,}7$$

Per tant:

$$Q^2 \approx \frac{111{,}5}{661{,}7}=0{,}1685\quad\Rightarrow\quad Q\approx 0{,}41\ \text{m}^3/\text{s}.$$

Resultat final

$$\boxed{Q \approx 0{,}41\ \text{m}^3/\text{s}}$$