Barra homogènia unida a una molla

En el sistema de la figura, la barra homogènia AB té una longitud de 100 cm y una massa de 5 kg. S’hi troba unida una molla de constant elàstica \( k = 400 \, \text{N/m} \) que connecta el punt B amb una massa \( M \), col·locada en un punt B a la paret. Calculeu l’allargament de la molla en l’equilibri quan l’angle en el punt A és de \( 60^\circ \).

En la situació d’equilibri indicada a la figura, tenim un triangle isòsceles. La longitud \( l \) de la molla serà la mateixa que la longitud \( L \) de la barra, \( l = L = 100 \, \text{cm} \), i la distància entre A i el punt C és \( \overline{AC} = \sqrt{2}L = 141,4 \, \text{cm} \). Si imposem que el moment de forces total respecte al punt A sigui zero, podem calcular la longitud natural de la molla:\[F_{\text{elàstica}} \cdot L \cdot \text{sen} \gamma – m_{\text{B}} g \left( \frac{L}{2} \right) \text{sen} \gamma = 0 \quad \Rightarrow \quad k \Delta l = \frac{1}{2} m_{\text{B}} g \text{sen} \gamma\]\[\Rightarrow \quad \Delta l = \frac{m_{\text{B}} g \text{sen} \gamma}{2k} = 4,33 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad l_0 = l – \Delta l = 95,67 \, \text{cm}\]Si ara col·loquem l’extrem de la massa \( M \) al nou diagrama de forces, aquest es representarà com es mostra a la figura. Amb les dades de l’enunciat, calculem els altres angles.

L’angle \( \alpha \) el podem posar en funció de \( \beta \), que és conegut, raonant sobre el triangle:\[l \text{sen} \alpha = L \text{sen} \beta \quad \Rightarrow \quad \text{tg} \alpha = \frac{\text{sen} \beta}{\sqrt{2}L – L \text{cos} \beta} \quad \Rightarrow \quad \alpha = 43,45^\circ\]Aplicant el teorema dels sinus per als angles \( \gamma \) i \( \gamma \):\[\frac{\text{sen} \gamma}{\overline{AC}} = \frac{\text{sen} \alpha}{L} \quad \Rightarrow \quad \text{sen} \gamma = \frac{\overline{AC}}{L} \text{sen} \alpha = \sqrt{2} \text{sen} \alpha \quad \Rightarrow \quad \gamma = 70,53^\circ\]Aplicant el teorema dels sinus per als angles \( \alpha \) i \( \beta \), podem calcular la nova longitud de la molla i el seu allargament:\[\frac{\text{sen} \beta}{l} = \frac{\text{sen} \alpha}{L} \quad \Rightarrow \quad l = \frac{\text{sen} \beta}{\text{sen} \alpha} L = 125,93 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad \Delta l = l – l_0 = 30,26 \, \text{cm}\]Replantem l’equilibri i tornem a calcular moments respecte a A:\[F_{\text{elàstica}} \cdot L \text{sen} \gamma – m_{\text{B}} g \left( \frac{L}{2} \right) \text{sen} \beta – M g L \text{sen} \beta = 0\]\[\Rightarrow \quad M = \frac{F_{\text{elàstica}} \text{sen} \gamma – \frac{1}{2} m_{\text{B}} g \text{sen} \beta}{g \text{sen} \beta} = \frac{k \Delta l \text{sen} \gamma – \frac{1}{2} m_{\text{B}} g \text{sen} \beta}{g \text{sen} \beta} = 11,37 \, \text{kg}\]