Assaig de tracció. Barra d’acer. Examen Cantàbria Juny 2015

Un assaig de tracció efectuat a una barra d’acer de $500$ mm de longitud i $30$ mm$^2$ de secció ha donat com a resultat que el punt de límit de proporcionalitat s’assoleix quan s’apliquen $90$ MPa, produint-se una deformació unitària de $4,50 \times 10^{-4}$. Així mateix, el límit d’elasticitat es troba en aplicar $130$ MPa, obtenint una deformació unitaria de $6,30 \times 10^{-4}$. Per finalitzar l’assaig, el punt de trencament s’assoleix al aplicar $260$ MPa, resultant en una deformació unitaria de $0,4890$. Determinar: a) El mòdul d’elasticitat del material. b) La longitud de la barra en mm, en aplicar una força de $150$ kN. c) La força que cal aplicar per provocar el trencament del material.

a) Càlcul del mòdul d’elasticitat $E$

El mòdul d’elasticitat $E$ es pot calcular utilitzant la llei de Hooke per la zona elàstica, que s’expressa com:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$

Prendrem els valors del límit de proporcionalitat, ja que està en la regió elàstica:

$$E = \frac{90 \times 10^6 \, \text{Pa}}{4,50 \times 10^{-4}} = 200 \times 10^9 \, \text{Pa} = 200 \, \text{GPa}$$

Resposta: El mòdul d’elasticitat del material és $200 \, \text{GPa}$.

---

b) Longitud de la barra al aplicar una força de $150$ kN

Primer, calculem la tensió aplicada amb la força de $150$ kN. La tensió $\sigma$ s’obté com:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

$$\sigma = \frac{150 \times 10^3 \, \text{N}}{30 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} = 5 \times 10^8 \, \text{Pa} = 150 \, \text{MPa}$$

Aquest valor de tensió és superior al límit d’elasticitat, però inferior al límit de trencament, per la qual cosa el material ha entrat en la zona plàstica. Anem a interpolar entre els valors del límit d’elasticitat i el límit de trencament per obtenir la deformació unitaria corresponent a $\sigma = 150 \, \text{MPa}$.

Interpolació lineal:

$$\varepsilon = \varepsilon_e + \frac{\sigma – \sigma_e}{\sigma_r – \sigma_e} \times (\varepsilon_r – \varepsilon_e)$$

Substituint els valors:

$$\varepsilon = 6,30 \times 10^{-4} + \frac{150 – 130}{260 – 130} \times (0,4890 – 6,30 \times 10^{-4})$$

Calculant:

$$\varepsilon = 6,30 \times 10^{-4} + \frac{20}{130} \times (0,4890 – 6,30 \times 10^{-4}) = 6,30 \times 10^{-4} + 0,1538 \times 0,48837$$

$$\varepsilon \approx 6,30 \times 10^{-4} + 0,0751 = 0,07573$$

Amb la deformació unitaria, podem calcular la nova longitud de la barra $L$ amb la relació:

$$L = L_0 (1 + \varepsilon)$$

$$L = 500 \, \text{mm} \times (1 + 0,07573) = 500 \, \text{mm} \times 1,07573 = 537,865 \, \text{mm}$$

Resposta: La longitud de la barra sota una força de $150$ kN és de $537,87 \, \text{mm}$.

---

c) Força necessària per provocar la ruptura del material

Per calcular la força necessària per provocar la ruptura del material, utilitzem la tensió en el punt de ruptura i la relació entre la tensió i la força:

$$F = \sigma_r \times A$$

Substituint els valors:

$$F = 260 \times 10^6 \, \text{Pa} \times 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 = 7800 \, \text{N} = 7,8 \, \text{kN}$$

Resposta: La força necessària per provocar la ruptura del material és de $7,8 \, \text{kN}$.