Deformació unitària

Quina serà la deformació unitària que presenta un material al seu límit elàstic, si aquest és $\sigma_e = 1$ MPa i el seu mòdul de Young, $E = 1$ GPa? Quina serà la secció en aquest punt, si la secció inicial era $S_0 = 100$ mm$^2$? (Recorda que la reducció de secció és uniforme en aquest punt i que el volum del material ha de romandre constant).

1) Deformació unitaria en el límit elàstic

La deformació unitaria $\varepsilon$ és la relació entre la tensió aplicada $\sigma$ i el mòdul de Young $E$. Està donada per la fórmula:

$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$$

On:

• $\sigma_e = 1 \, \text{MPa} = 1 \times 10^6 \, \text{Pa}$ és la tensió al límit elàstic.
• $E = 1 \, \text{GPa} = 1 \times 10^9 \, \text{Pa}$ és el mòdul de Young.

Substituint aquests valors:

$$\varepsilon = \frac{1 \times 10^6}{1 \times 10^9} = 0.001$$

Per tant, la deformació unitaria en el límit elàstic és $\varepsilon = 0.001$.

2) Càlcul de la nova secció

La secció del material es redueix en el límit elàstic, però el volum del material es manté constant. La relació entre la secció inicial $S_0$ i la secció final $S_f$, juntament amb la longitud inicial i final, es pot determinar a partir de la conservació del volum:

$$V_0 = V_f$$

El volum inicial és:

$$V_0 = S_0 \times L_0$$

El volum final és:

$$V_f = S_f \times L_f$$

Com que $L_f = L_0 \times (1 + \varepsilon)$, substituïm:

$$S_0 \times L_0 = S_f \times L_0 \times (1 + \varepsilon)$$

Es pot cancel·lar $L_0$ a ambdós costats, obtenint:

$$S_0 = S_f \times (1 + \varepsilon)$$

Despejant $S_f$:

$$S_f = \frac{S_0}{1 + \varepsilon}$$

Substituïm els valors:

• $S_0 = 100 \, \text{mm}^2$
• $\varepsilon = 0.001$

$$S_f = \frac{100}{1 + 0.001} = \frac{100}{1.001} \approx 99.9 \, \text{mm}^2$$

Per tant, la secció en el límit elàstic és aproximadament $99.9$ mm².