Allargament d’una barra quadrada

Quin serà l’allargament experimentat per una barra quadrada d’$1,20$ cm de costat i $12$ cm de longitud, si està sotmesa a una càrrega de tracció de $9$ kN; el mòdul d’elasticitat (índex de Young) és de $2$ MN/cm$^2$. i el límit de proporcionalitat de $95$ MPa?

Para calcular el alargamiento experimentado por una barra sometida a una carga de tracció, podem seguir aquests passos:

1) Càlcul de la tensió aplicada

La tensió $\sigma$ es calcula com:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

On:

• $F = 9 \, \text{kN} = 9000 \, \text{N}$ és la força aplicada.
• $A$ és l’àrea de la secció transversal de la barra. Com que la barra és quadrada, l’àrea és:

$$A = \text{costat}^2 = (1.20 \, \text{cm})^2 = 1.44 \, \text{cm}^2$$

Substituïm:

$$\sigma = \frac{9000 \, \text{N}}{1.44 \, \text{cm}^2} = \frac{9000}{1.44} \, \text{N/cm}^2 = 6250 \, \text{N/cm}^2 = 62.5 \, \text{MPa}$$

2) Comprovació del límit de proporcionalitat

El límit de proporcionalitat és de $95$ MPa. Com que la tensió aplicada $\sigma = 62.5 \, \text{MPa}$ és inferior al límit de proporcionalitat, el material es comporta de manera elàstica i segueix la llei de Hooke.

3) Càlcul de la deformació unitaria

La deformació unitaria $\varepsilon$ es calcula com:

$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$$

On:

• $\sigma = 62.5 \, \text{MPa} = 6250 \, \text{N/cm}^2$,
• $E = 2 \, \text{MN/cm}^2 = 20000 \, \text{N/cm}^2$ és el mòdul d’elasticitat.

Substituïm els valors:

$$\varepsilon = \frac{6250}{20000} = 0.3125$$

4) Càlcul de l’alargament total

L’alargament total $\Delta L$ es calcula com:

$$\Delta L = \varepsilon \times L_0$$

On:

• $\varepsilon = 0.3125$,
• $L_0 = 12 \, \text{cm}$ és la longitud original de la barra.

Substituïm els valors:

$$\Delta L = 0.3125 \times 12 = 3.75 \, \text{cm}$$

Resum:

L’alargament experimentat per la barra és de $3.75$ cm.