Anàlisi d’un Moviment Harmònic Simple: Elongació, Velocitat, Acceleració i Energia d’una Massa Subjecta a una Molla

Un objecte de massa $30$ g es troba recolzat sobre una superfície horitzontal i subjecte a una molla. S’observa que oscil·la sobre la superfície, en la direcció de l’eix OX, seguint un moviment harmònic simple (MAS) de freqüència $5$ Hz amb una amplitud de $10$ cm. Si en l’instant inicial, l’elongació de la partícula és igual a la meitat de l’elongació màxima o amplitud, determineu:

a) Les equacions de l’elongació i la velocitat de la massa en qualsevol instant de temps

Dades inicials:

• Massa: $m = 30 \, \text{g} = 0,03 \, \text{kg}$
• Freqüència: $f = 5 \, \text{Hz}$
• Amplitud: $A = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m}$
• Elongació inicial: $x(0) = \frac{A}{2} = 0,05 \, \text{m}$

La freqüència angular es calcula com:
$$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \, \text{rad/s}$$

L’equació general de l’elongació en un MAS és:
$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

A ( t = 0 ), l’elongació és $x(0) = \frac{A}{2}$:
$$x(0) = A \cos(\phi) = \frac{A}{2} \implies \cos(\phi) = \frac{1}{2} \implies \phi = \pm \frac{\pi}{3}$$

Suposem que la fase inicial és $\phi = \frac{\pi}{3}$ (el signe depèn de la direcció inicial, però assumim el positiu per simplicitat). Així, l’equació de l’elongació és:
$$x(t) = 0,1 \cos\left(10\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{m}$$

La velocitat és la derivada de l’elongació respecte al temps:
$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$$
Substituint:
$$v(t) = -0,1 \cdot 10\pi \sin\left(10\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = – \pi \sin\left(10\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{m/s}$$

Resposta:

• Elongació: $x(t) = 0,1 \cos\left(10\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{m}$
• Velocitat: $v(t) = -\pi \sin\left(10\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{m/s}$

b) El període d’oscil·lació, l’acceleració màxima i la força màxima

Període d’oscil·lació:
El període $T$ es calcula com:
$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5} = 0,2 \, \text{s}$$

Acceleració màxima:
L’acceleració en un MAS és:
$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$
L’acceleració màxima ocorre quan $x(t) = \pm A$:
$$a_{\text{màx}} = \omega^2 A = (10\pi)^2 \cdot 0,1 = 100\pi^2 \cdot 0,1 = 10\pi^2 \approx 98,7 \, \text{m/s}^2$$

Força màxima:
La força màxima es calcula amb la llei de Newton:
$$F_{\text{màx}} = m \cdot a_{\text{màx}} = 0,03 \cdot 98,7 \approx 2,961 \, \text{N}$$

Resposta:

• Període: $T = 0,2 \, \text{s}$
• Acceleració màxima: $a_{\text{màx}} \approx 98,7 \, \text{m/s}^2$
• Força màxima: $F_{\text{màx}} \approx 2,961 \, \text{N}$

c) La constant elàstica de la molla i les energies (cinètica, potencial i total) en un punt de màxima elongació

Constant elàstica de la molla:
La freqüència angular està relacionada amb la constant elàstica $k$ per:
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
Aïllem $k$:
$$k = \omega^2 m = (10\pi)^2 \cdot 0,03 = 100\pi^2 \cdot 0,03 \approx 29,61 \, \text{N/m}$$

Energia en un punt de màxima elongació:
En un punt de màxima elongació ($x = \pm A$):

• Energia cinètica ($E_k$): La velocitat és zero ($v = 0$), per tant:
  $$E_k = \frac{1}{2} m v^2 = 0 \, \text{J}$$
• Energia potencial elàstica ($E_p$): L’energia potencial màxima és:
  $$E_p = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 29,61 \cdot (0,1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 29,61 \cdot 0,01 \approx 0,14805 \, \text{J}$$
• Energia total ($E_{\text{total}}$): En un MAS, l’energia total és constant i igual a l’energia potencial màxima:
  $$E_{\ rano{total} = E_p \approx 0,14805 \, \text{J}$$

Resposta:

• Constant elàstica: $k \approx 29,61 \, \text{N/m}$
• Energia cinètica: $E_k = 0 \, \text{J}$
• Energia potencial: $E_p \approx 0,14805 \, \text{J}$
• Energia total: $E_{\text{total}} \approx 0,14805 \, \text{J}$