Anàlisi del Moviment Circular d’una Partícula

Una partícula descriu un moviment circular uniforme amb un radi de $0,5$ m i una velocitat constant de $2$ m/s, en un instant donat. Calculeu:

a) La velocitat angular en rpm en la partícula abans d’accelerar o frenar.
b) L’acceleració de la partícula abans d’accelerar o frenar.
c) L’acceleració de la partícula després de frenar.
d) L’acceleració angular quan comença a frenar.
e) El temps que triga a fer una volta quan comença a frenar.
f) El nombre de voltes que fa des que comença a frenar fins que s’atura.

a) La velocitat angular es pot obtenir amb la relació $\omega = \frac{v}{r}$.
$$\omega = \frac{2 \, \text{m/s}}{0,5 \, \text{m}} = 4 \, \text{rad/s}.$$
Per passar a revolucions per minut (rpm), tenint en compte que $1 \, \text{rev} = 2\pi \, \text{rad}$, i $1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}$, la velocitat angular quan el moviment és uniforme és:
$$\omega = \frac{4 \, \text{rad/s} \cdot 60 \, \text{s/min}}{2\pi \, \text{rad/rev}} \approx 38,2 \, \text{rpm}.$$

b) L’acceleració centrípeta ve donada per $a_c = \frac{v^2}{r}$.
$$a_c = \frac{(2 \, \text{m/s})^2}{0,5 \, \text{m}} = 8 \, \text{m/s}^2.$$
Per tant, l’acceleració tangencial és zero: $a_t = 0 \, \text{m/s}^2$.

c) En aquest cas, hi ha també una acceleració tangencial perquè la partícula comença a frenar: $a_t = -0,5 \, \text{m/s}^2$. L’acceleració total ve donada per:
$$a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \sqrt{(8 \, \text{m/s}^2)^2 + (-0,5 \, \text{m/s}^2)^2} = \sqrt{64 + 0,25} \approx 8,02 \, \text{m/s}^2.$$

d) L’acceleració angular quan comença a frenar es pot obtenir de la relació:
$$\alpha = \frac{a_t}{r} = \frac{-0,5 \, \text{m/s}^2}{0,5 \, \text{m}} = -1 \, \text{rad/s}^2.$$

e) A partir de l’equació $v = \omega r$, quan $v = 0$, el temps ve donat per:
$$t = \frac{v_0 – v}{a_t} = \frac{2 \, \text{m/s} – 0}{0,5 \, \text{m/s}^2} = 4 \, \text{s}.$$
Comproveu que aquest és el mateix temps utilitzant $\omega$:
$$t = \frac{\omega_0 – \omega}{\alpha} = \frac{4 \, \text{rad/s} – 0}{-1 \, \text{rad/s}^2} = 4 \, \text{s}.$$

f) Nombre de voltes:
$$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 4 \cdot 4 + \frac{1}{2} (-1) (4)^2 = 16 – 8 = 8 \, \text{rad}.$$
Per tant:
$$n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{8}{2\pi} \approx \frac{8}{6,28} \approx 1,27 \, \text{voltes}.$$
O bé:
$$n = \frac{\omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2}{2\pi} = \frac{4 \cdot 4 + \frac{1}{2} (-1) (4)^2}{2\pi} = \frac{16 – 8}{2\pi} \approx \frac{8}{6,28} \approx 1,27 \, \text{voltes}.$$