Anàlisi del flux d’aigua en un tub amb caiguda de pressió i pèrdua de potència

Per un tub de $0,02$ m de radi flueix aigua que està a una temperatura de $20$ºC. A cada metre de longitud es produeix una caiguda de pressió de $100$ Pa i una disminució de potència de $0,8$ W. a) Quin és el cabal que circula pel tub? b) Quina és la velocitat mitjana de l’aigua? c) És laminar el flux?

Dades proporcionades

• Radi del tub: \( r = 0,02 \, \text{m} \).

• Caiguda de pressió per metre: \( \Delta P = 100 \, \text{Pa/m} \).

• Pèrdua de potència per metre: \( P = 0,8 \, \text{W/m} \).

• Temperatura de l’aigua: \( 20^\circ \text{C} \).

• Propietats de l’aigua a 20ºC:

• Densitat: \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \).

• Viscositat dinàmica: \( \eta = 1,0 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s} \).

a) Càlcul del cabal (\( Q \)). La potència dissipada per unitat de longitud es relaciona amb el cabal i la caiguda de pressió mitjançant la fórmula:\[P = Q \cdot \Delta P\]Reorganitzem per trobar el cabal:\[Q = \frac{P}{\Delta P}\]Substituïm els valors:\[Q = \frac{0,8 \, \text{W}}{100 \, \text{Pa}} = 0,008 \, \text{m}^3/\text{s}\]

Resposta a): El cabal que circula pel tub és:\[Q = 0,008 \, \text{m}^3/\text{s}\]

b) Càlcul de la velocitat mitjana (\( v_{\text{mitjana}} \)). La velocitat mitjana de l’aigua es calcula a partir del cabal i l’àrea de la secció transversal del tub:\[Q = v_{\text{mitjana}} \cdot A\]L’àrea de la secció transversal del tub és:\[A = \pi r^2 = \pi \cdot (0,02)^2 = \pi \cdot 0,0004 = 1,2566 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\]Reorganitzem per trobar \( v_{\text{mitjana}} \):\[v_{\text{mitjana}} = \frac{Q}{A} = \frac{0,008}{1,2566 \times 10^{-3}} \approx 6,366 \, \text{m/s}\]

Resposta b): La velocitat mitjana de l’aigua és:\[v_{\text{mitjana}} \approx 6,37 \, \text{m/s}\]

c) És laminar el flux? Per determinar si el flux és laminar, calculem el nombre de Reynolds (\( Re \)):\[Re = \frac{\rho v_{\text{mitjana}} D}{\eta}\]on:

• \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \),

• \( v_{\text{mitjana}} = 6,366 \, \text{m/s} \),

• \( D = 2r = 2 \cdot 0,02 = 0,04 \, \text{m} \) (diàmetre del tub),

• \( \eta = 1,0 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s} \).Substituïm:\[Re = \frac{1000 \cdot 6,366 \cdot 0,04}{1,0 \times 10^{-3}} = \frac{254,64}{1,0 \times 10^{-3}} = 254640\]

El flux és:

• Laminar si \( Re < 2000 \),

• Transitori si \( 2000 < Re < 4000 \),

• Turbulent si \( Re > 4000 \).Com que \( Re = 254640 \gg 4000 \), el flux és clarament turbulent.

Resposta c): El flux no és laminar; és turbulent, ja que \( Re \approx 254640 \).

Resum a) Cabal: \( Q = 0,008 \, \text{m}^3/\text{s} \)b) Velocitat mitjana: \( v_{\text{mitjana}} \approx 6,37 \, \text{m/s} \)c) Tipus de flux: El flux és turbulent (\( Re \approx 254640 \)).