Càlcul del coeficient d’arrossegament d’un peix en natació

Els músculs encarregats d’impulsar un peix dins l’aigua generen una potència de $0,4$ kW, el $60\%$ de la qual s’aprofita per a la natació. Si el peix pot arribar a moure’s fins a una velocitat de $5$ m/s i l’àrea màxima de la seva secció transversal en la direcció del moviment és de $100$ cm$^2$, quin és el valor del coeficient d’arrossegament?

Dades proporcionades

• Potència total generada pels músculs: \( P_{\text{total}} = 0,4 \, \text{kW} = 400 \, \text{W} \).

• Percentatge de potència aprofitat per a la natació: \( 60\% \).

• Velocitat del peix: \( v = 5 \, \text{m/s} \).

• Àrea de la secció transversal: \( A = 100 \, \text{cm}^2 = 100 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 0,01 \, \text{m}^2 \).

• Densitat de l’aigua (assumida a 20ºC): \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \).

Pas 1: Calculem la potència efectiva. La potència aprofitada per a la natació és el 60% de la potència total:\[P_{\text{efectiva}} = 0,6 \cdot P_{\text{total}} = 0,6 \cdot 400 = 240 \, \text{W}\]

Pas 2: Relacionem la potència amb la força d’arrossegament. La potència es defineix com:\[P_{\text{efectiva}} = F \cdot v\]on \( F \) és la força d’arrossegament que el peix ha de vèncer per mantenir la velocitat constant, i \( v = 5 \, \text{m/s} \). Reorganitzem per trobar \( F \):\[F = \frac{P_{\text{efectiva}}}{v} = \frac{240}{5} = 48 \, \text{N}\]

Pas 3: Força d’arrossegament en el fluid. La força d’arrossegament en un fluid es calcula amb la fórmula:\[F = \frac{1}{2} C_d \rho A v^2\] Reorganitzem per trobar \( C_d \):\[C_d = \frac{2 F}{\rho A v^2}\]Substituïm els valors:

• \( F = 48 \, \text{N} \),

• \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \),- \( A = 0,01 \, \text{m}^2 \),

• \( v = 5 \, \text{m/s} \), \( v^2 = 25 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \).\[C_d = \frac{2 \cdot 48}{1000 \cdot 0,01 \cdot 25}\]\[= \frac{96}{250} = 0,384\]

Resposta final. El coeficient d’arrossegament és:\[C_d \approx 0,38\]

Verificació. El valor \( C_d \approx 0,38 \) és raonable per a un peix, ja que els animals aquàtics tenen formes hidrodinàmiques que redueixen l’arrossegament, amb coeficients d’arrossegament típicament entre 0,1 i 0,5, depenent de la seva forma i eficiència.