Anàlisi de la Velocitat i Acceleració Relatives entre Observadors Inercials

Un observador inercial \( O \) mesura la posició d’una partícula (unitats del S.I.), \(\vec{r}_P(O) = (6t^2 – 4t)\hat{i} – 3t^3\hat{j} + 2\hat{k} \). Un altre observador \( O’ \), amb la mateixa orientació, mesura la posició de la mateixa partícula \(\vec{r}_P(O’) = (6t^2 + 3t)\hat{i} – 3t^3\hat{j} – 3\hat{k} \). a) Determineu la velocitat relativa del sistema \( O’ \) respecte de \( O \). b) Calculeu l’acceleració de la partícula respecte de \( O \) i \( O’ \). c) És \( O’ \) un observador inercial?

a) La velocitat de la partícula respecte de \( O \) és:\[\vec{v}_P(O) = \frac{d\vec{r}_P(O)}{dt} = (12t – 4)\hat{i} – 9t^2\hat{j}\]La velocitat de la partícula respecte de \( O’ \) és:\[\vec{v}_P(O’) = \frac{d\vec{r}_P(O’)}{dt} = (12t + 3)\hat{i} – 9t^2\hat{j}\]La velocitat relativa de \( O’ \) respecte de \( O \) és:\[\vec{V} = \vec{v}_{O’}(O) = \vec{v}_{O’} – \vec{v}_O = -\vec{v}_P + \vec{v}_{O’} + \vec{v}_P – \vec{v}_O = \vec{v}_P(O) – \vec{v}_P(O’) = -3\hat{i}\]

b)\[\vec{a}_P(O) = \frac{d\vec{v}_P(O)}{dt} = 12\hat{i} – 18t\hat{j}\]De l’apartat anterior, tenim \(\vec{v}_P(O’) = \vec{v}_P(O) – \vec{V}\), així:\[\vec{a}_P(O’) = \frac{d\vec{v}_P(O’)}{dt} = \frac{d\vec{v}_P(O)}{dt} – \frac{d\vec{V}}{dt} = \vec{a}_P(O) = 12\hat{i} – 18t\hat{j}\]c) Sí, perquè \( O’ \) es mou a velocitat constant respecte d’un observador inercial \( O \):\[\vec{v}_{O’}(O) = ct\]