Anàlisi de l’aplicació lineal mitjançant la seva matriu associada: càlcul del nucli i la imatge

Sigui $f : V_4(\mathbb{R}) \to V_3(\mathbb{R})$ l’homomorfisme l’expressió del qual respecte a les bases canòniques de $V_4(\mathbb{R})$ i $V_3(\mathbb{R})$ és:$$f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (x_1 + x_3,\; x_1 – x_2 – x_3 + x_4,\; 2x_1 – x_2 + x_4)$$ Calcular les equacions implícites i paramètriques i les dimensions de la imatge i el nucli de $f$.

El subespai imatge de l’homomorfisme (o aplicació lineal) $f$, $\text{Im}(f)$, és el subespai vectorial de $V_3(\mathbb{R})$ generat pels vectors de $V_3(\mathbb{R})$ que provenen de la imatge per $f$ de vectors de $V_4(\mathbb{R})$:$$\text{Im}(f) = \{(y_1, y_2, y_3) \in V_3(\mathbb{R}) \; | \; (y_1, y_2, y_3) = f(x_1, x_2, x_3, x_4)\}$$Per tant, són vectors les coordenades dels quals compleixen:$$\begin{cases}y_1 = x_1 + x_3 \\y_2 = x_1 – x_2 – x_3 + x_4 \\y_3 = 2x_1 – x_2 + x_4\end{cases} \Rightarrow y_3 = y_1 + y_2$$

Tenim que la dimensió de $\text{Im}(f)$ és 2, les seves equacions implícites: $$\text{Im}(f) := (y_1 + y_2 – y_3 = 0)$$I les seves **equacions paramètriques: $$\text{Im}(f) : \begin{cases}y_1 = \alpha \\y_2 = \beta \\y_3 = \alpha + \beta\end{cases}$$

El nucli de $f$, $\text{Ker}(f)$, es defineix com el subespai vectorial de $V_4(\mathbb{R})$ generat pels vectors que es transformen per $f$ en el vector $\vec{0}$ de $V_3(\mathbb{R})$:$$\text{Ker}(f) = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in V_4(\mathbb{R}) \; | \; f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 0)\}$$

Les equacions implícites de $\text{Ker}(f)$ són:$$\text{Ker}(f) : \begin{cases}x_1 + x_3 = 0 \\x_1 – x_2 – x_3 + x_4 = 0 \\2x_1 – x_2 + x_4 = 0\end{cases}$$

Les equacions paramètriques:$$\text{Ker}(f) :\begin{cases}x_1 = \alpha \\x_2 = \beta \\x_3 = -\alpha \\x_4 = -2\alpha + \beta\end{cases}$$

I es té que la dimensió $\dim(\text{Ker}(f)) = 2$.