Anàlisi de la funció racional

Considera la funció $f$ definida per $$f(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – 1}$$ per $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

(a) Estudia i determina les assímptotes de la gràfica de $f$.
(b) Determina els intervals de creixement i de decreixement de $f$.

(a) Assímptotes de la gràfica

1. Assímptotes verticals

Són les rectes $x = a$ on el denominador s’anul·la i el numerador no.

• Denominador: $x^2 – 1 = (x-1)(x+1) = 0$ → $x = 1$ i $x = -1$.
• Numerador: $x^2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)$.

Simplificació (per $x \neq -1$):
$$f(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-3}{x-1}$$
→ Hi ha un forat a $x = -1$ (límit existeix, però $f(-1)$ no està definit).

2. Assímptota horitzontal

Grau del numerador = grau del denominador (2).
$$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{1}{1} = 1$$
Assímptota horitzontal: $\boxed{y = 1}$

3. Assímptota obliqua

No n’hi ha (els graus són iguals).

(b) Intervals de creixement i decreixement

Utilitzem la forma simplificada per $x \neq -1$:
$$f(x) = \frac{x-3}{x-1} \quad (x \neq -1)$$

Derivada:
$$f'(x) = \frac{(1)(x-1) – (x-3)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1 – x + 3}{(x-1)^2} = \frac{2}{(x-1)^2}$$

Anàlisi del signe de $f'(x)$:

• Numerador: $2 > 0$ (sempre).
• Denominador: $(x-1)^2 > 0$ per $x \neq 1$.

→ $f'(x) > 0$ per tot $x \in \mathbb{R} \setminus {-1, 1}$.

Conclusió:
La funció és estrictament creixent en cadascun dels intervals del domini.

Intervals de creixement:
$$\boxed{(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)}$$

Intervals de decreixement: cap.

Resum final