Sistema de protecció contra incendis. Equació de continuïtat i Bernoulli

En el sistema de protecció contra incendis d’una instal·lació industrial, hi ha una canonada horitzontal de $20$ cm de diàmetre ($d_A$) per la qual circula aigua desmineralitzada. La canonada presenta un estrenyiment tal com es mostra en el dibuix, reduint-se el diàmetre a la meitat ($d_B = 10$ cm). a) Ordeneu de menor a major la velocitat i la pressió als punts 1 i 2. Justifiqueu la resposta basant-vos en les equacions dels fluids. b) Si la diferència de pressió entre ambdues seccions (punts 1 i 2) és de $0,3$ kp/cm², calculeu la velocitat als punts 1 i 2. c) Calculeu el cabal expressat en litres per segon.

Nota: Suposeu que $g = 9.81$ m/s². La canonada té secció circular. Densitat de l’aigua desmineralitzada: $1000$ kg/m³.

a) Ordre de la velocitat i la pressió en els punts 1 i 2

Equació de continuïtat:
\begin{equation} A_1 v_1 = A_2 v_2 \end{equation} Com que $A_2 < A_1$, es dedueix que $v_2 > v_1$ (la velocitat augmenta a la zona estreta).

Equació de Bernoulli:
\begin{equation} P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \end{equation} Com que la canonada és horitzontal ($h_1 = h_2$), l’equació es redueix a:
\begin{equation} P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \end{equation} Com que $v_2 > v_1$, es dedueix que $P_2 < P_1$ (la pressió disminueix a la zona estreta).

Ordre de menor a major:

• Menor velocitat: $v_1$
• Major velocitat: $v_2$
• Major pressió: $P_1$
• Menor pressió: $P_2$

b) Càlcul de les velocitats als punts 1 i 2

Dades:

• $d_1 = 0.2$ m → $A_1 = \frac{\pi}{4} (0.2)^2 = 0.0314$ m²
• $d_2 = 0.1$ m → $A_2 = \frac{\pi}{4} (0.1)^2 = 0.00785$ m²
• Diferència de pressió: $P_1 – P_2 = 0.3$ kp/cm² = 3000030000 Pa
• Densitat de l’aigua: $\rho = 1000$ kg/m³

Equació de Bernoulli:
\begin{equation} P_1 – P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 – \frac{1}{2} \rho v_1^2 \end{equation} \begin{equation} 30000 = \frac{1}{2} (1000) (v_2^2 – v_1^2) \end{equation} \begin{equation} v_2^2 – v_1^2 = 60 \end{equation}

Utilitzem l’equació de continuïtat:
\begin{equation} A_1 v_1 = A_2 v_2 \end{equation} \begin{equation} (0.0314) v_1 = (0.00785) v_2 \end{equation} \begin{equation} v_1 = \frac{0.00785}{0.0314} v_2 = 0.25 v_2 \end{equation}

Substituint a l’equació de Bernoulli:
\begin{equation} v_2^2 – (0.25 v_2)^2 = 60 \end{equation} \begin{equation} v_2^2 – 0.0625 v_2^2 = 60 \end{equation} \begin{equation} 0.9375 v_2^2 = 60 \end{equation} \begin{equation} v_2^2 = 64 \end{equation} \begin{equation} v_2 = 8 \text{ m/s} \end{equation}

\begin{equation} v_1 = 0.25 \times 8 = 2 \text{ m/s} \end{equation}

c) Càlcul del cabal $Q$

\begin{equation} Q = A_1 v_1 = (0.0314) (2) = 0.0628 \text{ m}^3/\text{s} \end{equation}

Convertint a litres per segon:
\begin{equation} Q = 0.0628 \times 1000 = 62.8 \text{ L/s} \end{equation}

Resultats finals:

1. Ordre de velocitats i pressions: $v_1 < v_2$, $P_1 > P_2$.
2. Velocitats: $v_1 = 2$ m/s, $v_2 = 8$ m/s.
3. Cabal: $62.8$ L/s.