Resolució d’un sistema d’equacions pel mètode d’eliminació de Gauss

Resoleu el següent sistema d’equacions amb el mètode de Gauss $$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ x + 2y – z = 2 \end{cases}$$

1. Escrivim la matriu ampliada

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 & 14 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array} \right]$$

2. Eliminem les $x$ de sota de la primera fila

• $F_2 \to F_2 – 2F_1$
• $F_3 \to F_3 – F_1$

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array} \right]$$

3. Eliminem la $y$ de la tercera fila

Primer fem més còmode la segona fila: $$F_2 \to \frac{-1}{3}F_2 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array} \right]$$

Ara:

• $F_3 \to F_3 – F_2$:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{5}{3} & -\frac{10}{3} \end{array} \right]$$

4. Triem pivot a la tercera fila

Multipliquem la tercera fila per $-\frac{3}{5}$ $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]$$

5. Substitució endarrere

• De la 3a fila: \( z = 2 \)
• De la 2a fila: \[ y – \frac{1}{3}(2) = -\frac{2}{3} \implies y = 0 \]
• De la 1a fila: \[ x + 0 + 2 = 6 \implies x = 4 \]

Solució final \[ \boxed{x = 4,\quad y = 0,\quad z = 2} \]

✅ Solució final: $$\boxed{x = 4,\quad y = 0,\quad z = 2}$$