Propagació d’un feix de Llum en Vidre i Incidència en una Superfície Vidre-Aire

Un feix de freqüència $f = 2 \times 10^{14}$ Hz es mou per un vidre en què l’índex de refracció és $n = 1,5$ i incideix sobre una superfície de separació vidre-aire formant un angle de $45$° amb la normal a dita superfície. Calcula: a) La velocitat de propagació de l’ona en el vidre. b) La longitud d’ona en ambdós medis (vidre i aire). c) L’angle de refracció.

Dades: $n_{\text{aire}} = 1$; $c = 3 \times 10^8$ m/s.

Solució

a) Velocitat de propagació en el vidre

La velocitat de la llum en un medi es calcula com $v = \frac{c}{n}$, on $c$ és la velocitat de la llum en el buit i $n$ és l’índex de refracció.

$$v = \frac{3 \times 10^8}{1,5} = 2 \times 10^8 \, \text{m/s}$$

b) Longitud d’ona en ambdós medis

La freqüència $f$ es manté constant, i la longitud d’ona $\lambda$ es calcula com $\lambda = \frac{v}{f}$.

• En el vidre:
  $$\lambda_{\text{vidre}} = \frac{v}{f} = \frac{2 \times 10^8}{2 \times 10^{14}} = 1 \times 10^{-6} \, \text{m} = 1 \, \mu\text{m}$$
• En l’aire (on $v = c$):
  $$\lambda_{\text{aire}} = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{14}} = 1,5 \times 10^{-6} \, \text{m} = 1,5 \, \mu\text{m}$$

c) Angle de refracció

S’aplica la llei de Snell: $n_{\text{vidre}} \sin \theta_i = n_{\text{aire}} \sin \theta_r$, on $\theta_i = 45^\circ$.

$$1,5 \cdot \sin 45^\circ = 1 \cdot \sin \theta_r$$

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071$$

$$\sin \theta_r = 1,5 \times 0,7071 \approx 1,0607$$

Com que $\sin \theta_r > 1$, no existeix un angle de refracció real. Això indica que es produeix reflexió interna total. L’angle d’incidència (45°) és major que l’angle crític:

$$\theta_c = \arcsin\left( \frac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{vidre}}} \right) = \arcsin\left( \frac{1}{1,5} \right) \approx 41,81^\circ$$

Per tant, el raig es reflecteix completament dins del vidre sense passar a l’aire.