Problema de venda de caixes d’un producte

Un magatzem distribueix un cert producte fabricat per $3$ marques diferents: $A$, $B$ i $C$. La marca $A$ l’envasa en caixes de $250$ grams i el seu preu és de $100$ €, la marca $B$ l’envasa en caixes de $500$ grams a un preu de $180$ € i la marca $C$ ho fa en caixes d’$1$ quilogram a un preu de $330$ €. El magatzem ven a un client $2,5$ quilograms d’aquest producte per un import de $890$ €. Sabent que el lot anava envasat en $5$ caixes, planteja un sistema per determinar quantes caixes de cada tipus s’han comprat i resol el problema.
$$x = \text{nº de caixes de 250 g}$$
$$y = \text{nº de caixes de 500 g}$$
$$z = \text{nº de caixes d’1 kg}$$
$$\begin{cases}
x + y + z = 5 \\
250x + 500y + 1000z = 2500 \quad (\text{es pot dividir per 250}) \\
100x + 180y + 330z = 890 \quad (\text{es pot dividir per 10})
\end{cases}$$

$\textbf{Resolució:}$
$$\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 4 & 10 \\
10 & 18 & 33 & 89
\end{array}
\right]
\overset{F_2 – F_1}{\longrightarrow}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 5 \\
0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 8 & 23 & 39
\end{array}
\right]
\overset{F_3 – 8F_2}{\longrightarrow}
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 5 \\
0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 0 & -1 & -1
\end{array}
\right]$$

D’aquí obtenim:
$$z = 1, \quad y + 3z = 5 \Rightarrow y = 2, \quad x + 2 + 1 = 5 \Rightarrow x = 2$$

$\textbf{Solució:}$ S’han comprat $2$ caixes de $250$ g, $2$ caixes de $500$ g i $1$ caixa d’$1$ kg.