Problema de Dinàmica Rotacional: Velocitat Final d’una Pastilla en Trajectòria Circular

Una petita pastilla de 250 g llisca per una taula horitzontal mentre és lligada a un fil inextensible que passa per un orifici que agafem per l’extrem. La pastilla descriu una trajectòria circular de 500 mm de radi. Anem estirant del fil i, consegüentment, reduïm el radi de la trajectòria fins a deixar-lo en 200 mm. Si la velocitat inicial de la pastilla és de 5 m/s, determineu-ne la velocitat al final.

Pas 1: Entendre el sistema i les dades. La pastilla, de massa \( m = 250 \, \text{g} = 0,250 \, \text{kg} \), descriu un moviment circular en una taula horitzontal sense fricció, lligada a un fil que passa per un orifici. Inicialment, el radi de la trajectòria és \( r_i = 500 \, \text{mm} = 0,5 \, \text{m} \), i la velocitat inicial és \( v_i = 5 \, \text{m/s} \). En reduir el radi a \( r_f = 200 \, \text{mm} = 0,2 \, \text{m} \), hem de trobar la velocitat final \( v_f \).Com que no hi ha fricció ni forces externes que produeixin parell respecte a l’eix vertical de l’orifici (la força de tensió del fil actua radialment), el moment angular es conserva.

Pas 2: Conservació del moment angular. El moment angular \( L \) d’una massa puntual en moviment circular és:\[L = m r v,\]on:

• \( m \) és la massa,

• \( r \) és el radi de la trajectòria,

• \( v \) és la velocitat tangencial.

Com que el moment angular es conserva (\( L_i = L_f \)), tenim:\[m r_i v_i = m r_f v_f.\]La massa \( m \) és la mateixa en ambdós casos, així que es cancel·la:\[r_i v_i = r_f v_f.\]Aïllem la velocitat final \( v_f \):\[v_f = v_i \cdot \frac{r_i}{r_f}.\]

Pas 3: Substitució de valors. Dades:

• \( r_i = 0,5 \, \text{m} \),

• \( r_f = 0,2 \, \text{m} \),

• \( v_i = 5 \, \text{m/s} \).

Calculem:\[v_f = 5 \cdot \frac{0,5}{0,2} = 5 \cdot 2,5 = 12,5 \, \text{m/s}.\]

Pas 4: Verificació. La reducció del radi (de 0,5 m a 0,2 m) implica que la pastilla es mou en una òrbita més petita, la qual cosa augmenta la velocitat tangencial per conservar el moment angular. El resultat és coherent, ja que \( r_f < r_i \), i per tant \( v_f > v_i \).També podem verificar-ho amb el moment angular:

• Inicial: \( L_i = m r_i v_i = 0,250 \cdot 0,5 \cdot 5 = 0,625 \, \text{kg·m}^2\text{/s} \).

• Final: \( L_f = m r_f v_f = 0,250 \cdot 0,2 \cdot 12,5 = 0,625 \, \text{kg·m}^2\text{/s} \).

Com que \( L_i = L_f \), la conservació es compleix.

Resposta final. La velocitat final de la pastilla és:\[v_f = 12,5 \, \text{m/s}.\]