Càlcul de paràmetres dinàmics d’una massa puntual

Una massa puntual de \( 2 \, \text{kg} \) descriu la trajectòria definida per les equacions: \[x = t^3, \quad y = t – 2t^2, \quad z = \frac{t^4}{4},\] on \( t \) és el temps en segons. Calculeu, al temps \( t = 2 \, \text{s} \): a) Els vectors velocitat i acceleració. b) El vector quantitat de moviment. c) El moment angular respecte del punt \( P = (7, -7, 3) \). d) La força que actua sobre la massa puntual.

Per resoldre el problema, calcularem pas a pas cada apartat, utilitzant les equacions de la trajectòria i avaluant a \( t = 2 \, \text{s} \). La massa és \( m = 2 \, \text{kg} \).

a) Vectors velocitat i acceleració. La velocitat es calcula com la derivada primera de la posició respecte al temps:\[\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right).\]Calculem les derivades:

• \( x = t^3 \implies \frac{dx}{dt} = 3t^2 \),

• \( y = t – 2t^2 \implies \frac{dy}{dt} = 1 – 4t \),

• \( z = \frac{t^4}{4} \implies \frac{dz}{dt} = t^3 \).

A \( t = 2 \):

• \( \frac{dx}{dt} = 3(2)^2 = 12 \),

• \( \frac{dy}{dt} = 1 – 4(2) = 1 – 8 = -7 \),

• \( \frac{dz}{dt} = (2)^3 = 8 \).

Per tant, el vector velocitat és:\[\vec{v} = (12, -7, 8) \, \text{m/s}.\]L’acceleració es calcula com la derivada segona de la posició:\[\vec{a} = \left( \frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}, \frac{d^2z}{dt^2} \right).\]Calculem les segones derivades:

• \( \frac{dx}{dt} = 3t^2 \implies \frac{d^2x}{dt^2} = 6t \),

• \( \frac{dy}{dt} = 1 – 4t \implies \frac{d^2y}{dt^2} = -4 \),

• \( \frac{dz}{dt} = t^3 \implies \frac{d^2z}{dt^2} = 3t^2 \).

A \( t = 2 \):- \( \frac{d^2x}{dt^2} = 6(2) = 12 \),- \( \frac{d^2y}{dt^2} = -4 \),- \( \frac{d^2z}{dt^2} = 3(2)^2 = 12 \).Per tant, el vector acceleració és:\[\vec{a} = (12, -4, 12) \, \text{m/s}^2.\]

b) Vector de quantitat de moviment. La quantitat de moviment es defineix com:\[\vec{p} = m \vec{v}.\]Substituïm \( m = 2 \, \text{kg} \) i \( \vec{v} = (12, -7, 8) \):\[\vec{p} = 2 \cdot (12, -7, 8) = (24, -14, 16) \, \text{kg·m/s}.\]

c) Moment angular respecte del punt \( P = (7, -7, 3) \). El moment angular es calcula com:\[\vec{L} = \vec{r}_P \times \vec{p},\]on \( \vec{r}_P \) és el vector de posició relatiu al punt \( P \).Primer, calculem la posició de la massa a \( t = 2 \):

• \( x = (2)^3 = 8 \),

• \( y = 2 – 2(2)^2 = 2 – 8 = -6 \),

• \( z = \frac{(2)^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \).

El vector posició és \( \vec{r} = (8, -6, 4) \). El vector relatiu a \( P = (7, -7, 3) \) és:\[\vec{r}_P = \vec{r} – \vec{P} = (8 – 7, -6 – (-7), 4 – 3) = (1, 1, 1).\]Fem el producte vectorial \( \vec{L} = \vec{r}_P \times \vec{p} \), amb \( \vec{r}_P = (1, 1, 1) \) i \( \vec{p} = (24, -14, 16) \):\[\vec{L} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\1 & 1 & 1 \\24 & -14 & 16\end{vmatrix}.\]Calculem el determinant:

• Component \( \hat{i} \): \( (1 \cdot 16 – 1 \cdot (-14)) = 16 + 14 = 30 \),

• Component \( \hat{j} \): \( -(1 \cdot 16 – 1 \cdot 24) = -(16 – 24) = 8 \),

• Component \( \hat{k} \): \( 1 \cdot (-14) – 1 \cdot 24 = -14 – 24 = -38 \).Per tant:\[\vec{L} = (30, 8, -38) \, \text{kg·m}^2/\text{s}.\]

d) Força que actua sobre la massa. La força es calcula segons la segona llei de Newton:\[\vec{F} = m \vec{a}.\]Substituïm \( m = 2 \, \text{kg} \) i \( \vec{a} = (12, -4, 12) \):\[\vec{F} = 2 \cdot (12, -4, 12) = (24, -8, 24) \, \text{N}.\]

Resum dels resultats. A \( t = 2 \, \text{s} \):

a) Velocitat: \( \vec{v} = (12, -7, 8) \, \text{m/s} \).

Acceleració: \( \vec{a} = (12, -4, 12) \, \text{m/s}^2 \).

b) Quantitat de moviment: \( \vec{p} = (24, -14, 16) \, \text{kg·m/s} \).

c) Moment angular: \( \vec{L} = (30, 8, -38) \, \text{kg·m}^2/\text{s} \).

d) Força: \( \vec{F} = (24, -8, 24) \, \text{N} \).