Problema 3 Examen de matemàtiques CCSS 30 de juny de 2020

Una empresa es dedica a elaborar lots de productes que es venen als supermercats. En aquest moment estan empaquetant dos lots diferents. El lot de tipus A té $1$ formatge i $2$ ampolles de vi, i el transport costa $0,90$ euros. El lot de tipus B té $3$ formatges i $1$ ampolla de vi, i costa $1,50$ euros transportar-lo. L’empresa disposa de $200$ formatges i $100$ ampolles de vi, i han d’elaborar, almenys, $10$ lots del tipus A i $25$ del tipus B. Quants lots de cada classe han d’elaborar perquè les despeses en transport siguin mínimes? S’ha de plantejar el problema com un problema de programació lineal, dibuixant la regió factible de solucions i determinant i dibuixant els seus vèrtexs.

Siguin:

• $x$: nombre de lots del tipus $A$,
• $y$: nombre de lots del tipus $B$.

i. Com que $x \leq 10$, $y \leq 25$, sent la funció objectiu $f(x,y) = 0,90x + 1,50y$,

la regió factible està fitada amb vèrtexs:

• $A = (10, 25)$,
• $B = (75/2, 25)$,
• $C = (20, 60)$,
• $D = (10, 190/3)$.

$$f(10, 25) = 46,5, \quad f(75/2, 25) = 71,25, \quad f(20, 60) = 108, \quad f(10, 190/3) = 104.$$

Observant els anteriors valors, tenim que el mínim s’aconsegueix a $A = (10, 25)$. És a dir, les despeses del transport seran mínimes elaborant $10$ lots del tipus $A$ i $25$ lots del tipus $B$; aquestes despeses seran un total de $46,5$ €.