Problema 1 Examen de matemàtiques CCSS 30 de juny de 2020

Un institut té tres partides pressupostàries: llibres, material d’oficina i mobles. El pressupost per a mobles d’aquest institut és cinc vegades la suma del de llibres més el del material d’oficina. El pressupost per a llibres és el triple del de material d’oficina. La suma del pressupost per a mobles i material d’oficina és $7$ vegades el pressupost de llibres.

1. Amb aquestes dades, podem saber els diners destinats a cada partida pressupostària?
2. Determinau les quantitats si per a llibres hi ha $2100$ euros.

a) Siguin:

• $x$: pressupost per a mobles.
• $y$: pressupost per a llibres.
• $z$: pressupost per a material d’oficina.

L’enunciat del problema es correspon amb el sistema d’equacions següent:

$$\begin{cases}
x = 5(y + z), \\
y = 3z, \\
x + z = 7y,
\end{cases}$$

que es pot reescriure com:

$$\begin{cases}
x – 5y – 5z = 0, \\
y – 3z = 0, \\
x – 7y + z = 0.
\end{cases}$$

Tenim que el determinant de la matriu del sistema val:

$$\det \begin{pmatrix}
1 & -5 & -5 \\
0 & 1 & -3 \\
1 & -7 & 1
\end{pmatrix} = 0$$

i

$$\det \begin{pmatrix}
1 & -5 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = 1.$$

Per tant, $\text{rang}(A) = 2$, i és un sistema compatible indeterminat, per la qual cosa no podem saber quant han destinat a cada compra.

b) Si $y = 2100$, aleshores $z = 700$, i per tant, $x = 5(2100 + 700) = 5 \cdot 2800 = 14000$.

Per a mobles destinen $14000$ €, i per a material d’oficina, $700$ €.