Probabilitats sobre Extraescolars en un Institut

Un institut té estudiants d’ESO i de Batxillerat. L’institut ofereix tres extraescolars: dues esportives (futbol i bàsquet) i una no esportiva (música); tots els estudiants han d’escollir una extraescolar, però només una. L’institut té en total $400$ estudiants, i $300$ d’ells han escollit futbol. L’institut té $310$ estudiants d’ESO; d’ells, $230$ han escollit futbol i $60$ han escollit bàsquet. Se sap també que $8$ estudiants de Batxillerat han escollit música. Seleccionem a l’atzar un estudiant d’aquest institut. a) Calcula la probabilitat que l’estudiant estigui a l’ESO o hagi escollit música. b) Si sabem que l’estudiant seleccionat ha escollit una extraescolar esportiva, quina és la probabilitat que estigui a l’ESO? c) Són independents els successos “l’estudiant està a Batxillerat” i “l’estudiant no ha escollit bàsquet”?

Dades inicials

• Total d’estudiants: 400.

• Estudiants que han escollit futbol: 300.

• Estudiants d’ESO: 310.

• D’ESO, 230 han escollit futbol.

• D’ESO, 60 han escollit bàsquet.

• Estudiants de Batxillerat que han escollit música: 8.

• Cada estudiant escull exactament una extraescolar: futbol, bàsquet o música.

Calculem el nombre d’estudiants en cada categoria:

• Estudiants de Batxillerat: \[ 400 – 310 = 90 \text{ estudiants.} \]

• Estudiants d’ESO que han escollit música: \[ 310 – (230 + 60) = 310 – 290 = 20 \text{ estudiants.} \]

• Total d’estudiants que han escollit bàsquet: Sabem que 60 estudiants d’ESO han escollit bàsquet. Calcularem els de Batxillerat més endavant.

• Total d’estudiants que han escollit música: Sabem que 8 estudiants de Batxillerat i 20 d’ESO han escollit música: \[ 8 + 20 = 28 \text{ estudiants.} \]

• Total d’estudiants que han escollit bàsquet: Com que el total d’estudiants és 400, i 300 han escollit futbol i 28 música: \[ 400 – (300 + 28) = 400 – 328 = 72 \text{ estudiants.} \]

• Estudiants de Batxillerat que han escollit bàsquet: Sabem que hi ha 60 estudiants d’ESO a bàsquet, per tant: \[ 72 – 60 = 12 \text{ estudiants.} \]

• Estudiants de Batxillerat que han escollit futbol: Sabem que hi ha 230 estudiants d’ESO a futbol, per tant: \[ 300 – 230 = 70 \text{ estudiants.} \]Resumim en una taula de contingència:

	Futbol	Bàsquet	Música	Total
ESO	230	60	20	310
Batxillerat	70	12	8	90
Total	300	72	28	400

a) Probabilitat que l’estudiant estigui a l’ESO o hagi escollit música. Definim els successos:

• \( A \): L’estudiant està a l’ESO.

• \( B \): L’estudiant ha escollit música.

Volem calcular \( P(A \cup B) \), la probabilitat de la unió dels successos. Usem la fórmula: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B).\]

• \( P(A) \): Probabilitat d’estar a l’ESO: \[ P(A) = \frac{310}{400} = 0.775. \]

• \( P(B) \): Probabilitat d’haver escollit música: \[ P(B) = \frac{28}{400} = 0.07. \]

• \( P(A \cap B) \): Probabilitat d’estar a l’ESO i haver escollit música: \[ P(A \cap B) = \frac{20}{400} = 0.05. \]Aleshores: \[P(A \cup B) = 0.775 + 0.07 – 0.05 = 0.795.\]

Resposta a): La probabilitat que l’estudiant estigui a l’ESO o hagi escollit música és 0.795 (o 79.5%).

b) Probabilitat que l’estudiant estigui a l’ESO, sabent que ha escollit una extraescolar esportiva. Definim els successos:

• \( A \): L’estudiant està a l’ESO.

• \( D \): L’estudiant ha escollit una extraescolar esportiva (futbol o bàsquet).

Volem calcular \( P(A|D) \), la probabilitat condicional. Usem la fórmula: \[P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)}.\]

• \( P(A \cap D) \): Probabilitat d’estar a l’ESO i haver escollit una extraescolar esportiva. Els estudiants d’ESO que han escollit futbol o bàsquet són: \[ 230 + 60 = 290 \text{ estudiants.} \] \[ P(A \cap D) = \frac{290}{400} = 0.725. \]

• \( P(D) \): Probabilitat d’haver escollit una extraescolar esportiva. Els estudiants que han escollit futbol o bàsquet són: \[ 300 + 72 = 372 \text{ estudiants.} \] \[ P(D) = \frac{372}{400} = 0.93. \]Aleshores: \[P(A|D) = \frac{0.725}{0.93} \approx 0.77957.\]

Resposta b): La probabilitat que l’estudiant estigui a l’ESO, sabent que ha escollit una extraescolar esportiva, és aproximadament 0.780 (arrodonit a tres decimals).

c) Són independents els successos “l’estudiant està a Batxillerat” i “l’estudiant no ha escollit bàsquet”? Definim els successos:

• \( C \): L’estudiant està a Batxillerat.

• \( E \): L’estudiant no ha escollit bàsquet (és a dir, ha escollit futbol o música). Dos successos són independents si: \[P(C \cap E) = P(C) \cdot P(E).\]

• \( P(C) \): Probabilitat d’estar a Batxillerat: \[ P(C) = \frac{90}{400} = 0.225. \]

• \( P(E) \): Probabilitat de no haver escollit bàsquet: Els estudiants que han escollit futbol o música són: \[ 300 + 28 = 328 \text{ estudiants.} \] \[ P(E) = \frac{328}{400} = 0.82. \]

• \( P(C \cap E) \): Probabilitat d’estar a Batxillerat i no haver escollit bàsquet: Els estudiants de Batxillerat que han escollit futbol o música són: \[ 70 + 8 = 78 \text{ estudiants.} \] \[ P(C \cap E) = \frac{78}{400} = 0.195. \]

• Comprovació: \[ P(C) \cdot P(E) = 0.225 \cdot 0.82 = 0.1845. \] Comparant: \[ P(C \cap E) = 0.195 \neq 0.1845 = P(C) \cdot P(E). \]Com que \( P(C \cap E) \neq P(C) \cdot P(E) \), els successos no són independents.

Resposta c): Els successos “l’estudiant està a Batxillerat” i “l’estudiant no ha escollit bàsquet” no són independents.

Resum de respostes

• a) 0.795

• b) 0.780

• c) No són independents.