Pregunta 1 – Matrius i determinants

Donada la matriu $$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
0 & 3 & 4 \\
2 & -1 & 5
\end{pmatrix}$$

a) Calcula el determinant de $A$. (1 punt)

Desenvolupem el determinant per la primera fila (fila 1):

$$\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}-2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}+(-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$

Calculem cada menor $2\times 2$:

1. $\det\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = 3\cdot5 – 4\cdot(-1) = 15 + 4 = 19$
2. $\det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 0\cdot5 – 4\cdot2 = 0 – 8 = -8$
3. $\det\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = 0\cdot(-1) – 3\cdot2 = 0 – 6 = -6$

Substituïm:

$$\det(A) = 1 \cdot 19 – 2 \cdot (-8) + (-1) \cdot (-6) = 19 + 16 + 6 = \boxed{41}$$

b) Determina si $A$ és invertible i justifica la resposta. (0,5 punts)

Una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero.

Com que:
$$\det(A) = 41 \neq 0$$

Conclusió: $A$ és invertible.

c) Si $B$ és la matriu obtinguda substituint la segona columna de $A$ per $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, calcula $\det(B)$. (0,5 punts)

La matriu $B$ és:

$$B = \begin{pmatrix}
1 & \mathbf{3} & -1 \\
0 & \mathbf{1} & 4 \\
2 & \mathbf{0} & 5
\end{pmatrix}$$

Desenvolupem el determinant de $B$ per la segona columna (té dos zeros, és més senzill):

$$\det(B) = 3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}+1 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}-0 \cdot (\cdots) = 0$$

Només queden els dos primers termes:

1. $\det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 0\cdot5 – 4\cdot2 = -8$
2. $\det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 1\cdot5 – (-1)\cdot2 = 5 + 2 = 7$

Ara:

$$\det(B) = 3 \cdot (-1) \cdot (-8) + 1 \cdot (1) \cdot 7 = 3 \cdot 8 + 7 = 24 + 7 = \boxed{31}$$

Resum de respostes:

• a) $\det(A) = \boxed{41}$
• b) $A$ és invertible perquè $\det(A) = 41 \neq 0$.
• c) $\det(B) = \boxed{31}$