Moment angular i lineal d’un satèl·lit

Un satèl·lit de 1000 kg de massa descriu una òrbita circular de $1,2\cdot10^6$ m de radi al voltant de la Terra. Calcula: a) El mòdul del moment lineal i el mòdul del moment angular del satèl·lit respecte al centre de la Terra. Canvia las direccions d’aquests vectors en su òrbita? b) El període i l’energia mecànica. Dades: massa de la Terra $M_t = 5,98\cdot10^{24}$ kg; constant de gravitació $G = 6,67\cdot 10^{-11}\ N m^2 kg^{-2}$.

a) Per calcular el moment lineal del satèl·lit hem d’obtenir en primer lloc su velocitat orbital. La força centrípeta necessària perquè el satèl·lit gire al voltant de la Terra la origina la atracció gravitatoria de l’est. Es a dir; $F_g= F_c$.\[\frac{GMₜm_{sat}}{r_0^2} = \frac{m_{sat}v^2}{r_0} \implies v = \sqrt{\frac{GMₜ}{r_0}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \, \text{kg}}{12 \cdot 10^6 \, \text{m}}} = 5765 \, \text{m/s}\]El mòdul del moment lineal serà:\[|\vec{p}| = m|\vec{v}| = 1000 \, \text{kg} \cdot 5765 \, \text{m/s} = 5,765 \cdot 10^6 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}.\]Al tractar-se d’un moviment circular, els vectors \(\vec{r}\) i \(\vec{v}\) son perpendiculars.Per lo tant, el mòdul del vector moment angular serà:\[|\vec{L}| = |\vec{r}| \times |\vec{p}| \text{ sen } 90^\circ = 12 \cdot 10^6 \, \text{m} \cdot 5,765 \cdot 10^6 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} = 6,92 \cdot 10^{13} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}.\]Los vectors \(\vec{p}\) i \(\vec{v}\) tenen sempre la mateixa direcció i sentit. Per tant, si la direcció de \(\vec{v}\) canvia, com ocorre en el moviment circular, la direcció de \(\vec{p}\) també canviaria, però sempre en el mateix pla. El vector \(\vec{L}\) permanece constant, perquè el satèl·lit se mou sota la acció d’una força central.

b) El període o temps empleat en dar una volta sobre la òrbita es per definició:\[T = \frac{2\pi r_0}{v} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 12 \cdot 10^6 \, \text{m}}{5765 \, \text{m/s}} = 1,31 \cdot 10^4 \, \text{s}\]\[E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} m v^2 + \left(-\frac{GMₜm}{r_0}\right) = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{GMₜ}{r_0}}\right)^2 – \frac{GMₜm}{r_0} = -\frac{GMₜm}{2 r_0} = -1,66 \cdot 10^{10} \, \text{J}\]