Molla, barra i paquet

Una barra de massa \( m = 8 \, \text{kg} \) i de longitud \( L = 2 \, \text{m} \) pot girar al voltant del seu punt mitjà \( O \) sense cap mena de fricció —v. figura 1.75.

Un dels extrems de la barra és unit per una molla de constant \( k = 400 \, \text{N/m} \) a terra, mentre que sobre l’altre extrem hi ha un petit paquet de massa \( M = 5 \, \text{kg} \). Suposant que aquest paquet està ben lligat a la barra i sabent que la barra està horitzontal quan el sistema està en equilibri: a) Quant val l’estirament inicial de la molla? b) Trobau el període \( T \) de les oscil·lacions petites del sistema. c) Si l’amplitud angular de les oscil·lacions és de \( \Theta = 0,10 \, \text{rad} \), quines són la velocitat i l’acceleració màximes que assolirà el paquet? d) Si el paquet estigués només dipositat sobre la barra però no lligat a aquesta, quina amplitud angular màxima podria assolir la barra perquè el paquet perdés el contacte amb ella? e) Tornant a l’apartat (b): quant valdrà el període de les oscil·lacions d’aquest mateix sistema si hi afegíssim una segona molla de constant \( k’ = 2k \) a l’altre extrem —però de manera que la barra continués en equilibri en la posició horitzontal?

a) \( \Delta x = \frac{Mg}{k} = 12,26 \, \text{cm} \),

b) \( T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m + 3M}{3k}} = 0,8699 \, \text{s} \),

c) \( v_{\text{max}} = \frac{L}{2} \omega \Theta = 0,7223 \, \text{m/s} \), \( a_{\text{max}} = \frac{L}{2} \omega^2 \Theta = 5,217 \, \text{m/s}^2 \),

d) \( \Theta_{\text{max}} = \frac{2g}{\omega^2 L} = 0,1880 \, \text{rad} = 10,77^\circ \),

e) $T’ = 2\pi \sqrt{\frac{m + 3M}{3(k + k’)}} = \frac{T}{\sqrt{3}} = 0,5022 \, \text{s}$.