Posició CM esfera radi R

Trobar la posició del CM d’una esfera de radi \( R = 60 \, \text{cm} \) amb una cavitat també esfèrica de radi \( r = 30 \, \text{cm} \) situada a 30 cm del seu centre.

Per trobar el CM de l’esfera foradada, lo que farem serà sumar-li la contribució del material necessari per tapar el forat i així tenir una esfera completament massissa que tindrà el CM situat en el centre. Agafant com a origen el centre de l’esfera gran, el CM de l’esfera plena serà 0.El CM del material necessari per omplir-la esfera serà el centre del forat, situat a 30 cm del nostre origen de distàncies.La massa necessària per omplir el forat serà \( m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \).La massa de l’esfera foradada serà \( M = \frac{4}{3} \pi (R^3 – r^3) \rho \).Aplicant la propietat additiva del CM serà:\[0 = M D + m d \quad \Rightarrow \quad D = -\frac{m}{M} d \tag{1}\]El signe negatiu vol dir que el CM que busquem està situat en la semiesfera sense forat. Aplicant les dades, i substituint els valors de \( m \) i \( M \) i amb una mica de senzilla àlgebra obtenim:\[D = \frac{r^3}{R^3 – r^3} d = \frac{1}{\left( \frac{R}{r} \right)^3 – 1} d \tag{2}\]Substituint els valors numèrics en l’expressió anterior, obtenim:\[D = \frac{1}{7} 30 = 4.29 \, \text{cm} \tag{3}\]