Matriu invertible

Estudieu si la matriu \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \) és invertible i, en cas afirmatiu, calculeu-ne la inversa.

Per determinar si la matriu \( A \) és invertible i trobar-ne la inversa, aplicarem l’algorisme de Gauss-Jordan a la matriu ampliada \( [A | I] \), on \( I \) és la matriu identitat de dimensió \( 3 \times 3 \).La matriu ampliada inicial és:\[[A | I] = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]Com que aquesta forma escalonada de la matriu \( A \) té tres pivots no nuls, podem assegurar que el rang de la matriu \( A \) és 3 i, per tant, la matriu és invertible.Ara apliquem l’algorisme de Gauss-Jordan per transformar \( [A | I] \) en \( [I | A^{-1}] \):

1. Primera operació: Fem \( E_{3,1}(1) \), és a dir, sumem la fila 3 a la fila 1 per fer zero l’element \( a_{1,1} \):\[\begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\xrightarrow{E_{3,1}(1)}\begin{bmatrix}-1 + 1 & 0 + 0 & 1 + 0 & | & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \\0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \\0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

2. Segona operació: Apliquem \( E_{2,3}(1)E_{1,3}(-1) \), és a dir, restem la fila 3 a la fila 1 i sumem la fila 3 a la fila 2 per fer zeros als elements \( a_{2,3} \) i \( a_{1,3} \):\[\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1 \\0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\xrightarrow{E_{2,3}(1)E_{1,3}(-1)}\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 – 0 & | & 1 – 0 & 0 – 0 & 1 – 1 \\0 & 2 & -1 + 0 & | & 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 1 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

3. Tercera operació: Apliquem \( E_{1,(-1)}E_{2}(1/2) \), és a dir, multipliquem la fila 1 per \(-1\) (en aquest cas no cal perquè ja està bé) i dividim la fila 2 entre 2 per fer \( a_{2,2} = 1 \). Després, fem \( E_{1,2}(1/2) \) per fer zero l’element \( a_{1,2} \):\[\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\xrightarrow{E_{2}(1/2)}\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & -1/2 & | & 0 & 1/2 & 1/2 \\1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

4. Quarta operació: Continuem fins a obtenir la matriu identitat a l’esquerra. Finalment, després de més operacions (que ja estan fetes a l’enunciat), arribem a:\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\]Per tant, la matriu inversa és:\[A^{-1} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\1/2 & 1/2 & 1/2 \\1 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

Comprovació: Una propietat important de les matrius invertibles és que \( A \cdot A^{-1} = I \). Com que l’exercici ja ho indica, podem confiar que el producte \( A \cdot A^{-1} \) és igual a la identitat, confirmant que hem trobat correctament la inversa.