Problema sistemes d’equacions. Gestor d’inversions

Un gestor de fons d’inversió està dissenyant una cartera per als seus clients, que inclou tres tipus d’actius: Accions d’empreses tecnològiques (A), Bons del govern (B) i Dipòsits a termini fix (C). El gestor té la informació següent:

– La cartera ha de tenir un valor total de 500.000 euros.

– La inversió en accions (A) ha de ser el doble de la inversió total en bons (B) i dipòsits (C) junts.

– La inversió en bons (B) més el 30% de la inversió en dipòsits (C) ha de ser igual a la meitat de la inversió en accions (A). Determina quants diners ha d’invertir el gestor en cada tipus d’actiu (A, B, C) per complir amb aquests requisits. a) Planteja el sistema d’equacions lineals que representa aquest problema.b) Resol el sistema d’equacions utilitzant el mètode que consideris més adequat, indicant clarament els passos seguits.

a) Plantejament del sistema d’equacions lineals. Anomenem:

– \( A \): quantitat invertida en accions (en euros),

– \( B \): quantitat invertida en bons (en euros),

– \( C \): quantitat invertida en dipòsits (en euros).A partir de les condicions donades, podem escriure les següents equacions:

1. Valor total de la cartera: \[ A + B + C = 500000 \]

2. La inversió en accions (A) és el doble de la inversió total en bons (B) i dipòsits (C) junts: \[ A = 2(B + C) \]

3. La inversió en bons (B) més el 30% de la inversió en dipòsits (C) és igual a la meitat de la inversió en accions (A): \[ B + 0.3C = \frac{1}{2}A \]Aquestes són les tres equacions que representen el problema. Reescrivim-les en forma estàndard:

– Equació 1: \( A + B + C = 500000 \)

– Equació 2: \( A – 2B – 2C = 0 \)

– Equació 3: \( \frac{1}{2}A – B – 0.3C = 0 \)Per simplificar l’equació 3, multipliquem per 2 per eliminar la fracció:\[A – 2B – 0.6C = 0\] Així, el sistema d’equacions lineals és:\[\begin{cases}A + B + C = 500000 \\A – 2B – 2C = 0 \\A – 2B – 0.6C = 0\end{cases}\]

b) Resolució del sistema d’equacions. Utilitzarem el mètode de Gauss-Jordan per resoldre el sistema, ja que és un mètode sistemàtic i adequat per a sistemes d’equacions lineals. Primer, escrivim la matriu ampliada del sistema:\[\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & | & 500000 \\1 & -2 & -2 & | & 0 \\1 & -2 & -0.6 & | & 0\end{bmatrix}\]

Pas 1: Fer zeros sota el primer pivot (columna 1). El pivot de la primera columna és \( a_{1,1} = 1 \). Restem la fila 1 a les files 2 i 3 per fer zeros a les posicions \( a_{2,1} \) i \( a_{3,1} \):

– Fila 2: \( F_2 \leftarrow F_2 – F_1 \)\[\begin{bmatrix}1 & -2 & -2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -3 & -3\end{bmatrix}\]\[0 – 500000 = -500000\]

– Fila 3: \( F_3 \leftarrow F_3 – F_1 \)\[\begin{bmatrix}1 & -2 & -0.6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -3 & -1.6\end{bmatrix}\]\[0 – 500000 = -500000\]La matriu resultant és:\[\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & | & 500000 \\0 & -3 & -3 & | & -500000 \\0 & -3 & -1.6 & | & -500000\end{bmatrix}\]

Pas 2: Fer zeros sota el segon pivot (columna 2). El pivot de la segona columna és \( a_{2,2} = -3 \). Restem la fila 2 a la fila 3 per fer zero a \( a_{3,2} \):

– Fila 3: \( F_3 \leftarrow F_3 – F_2 \)\[\begin{bmatrix}0 & -3 & -1.6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0 & -3 & -3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1.4\end{bmatrix}\]\[-500000 – (-500000) = 0\] La matriu resultant és:\[\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & | & 500000 \\0 & -3 & -3 & | & -500000 \\0 & 0 & 1.4 & | & 0\end{bmatrix}\]

Pas 3: Simplificar els pivots. Dividim la fila 2 entre \(-3\) i la fila 3 entre \(1.4\) per fer els pivots iguals a 1:- Fila 2: \( F_2 \leftarrow F_2 / (-3) \)\[\begin{bmatrix}0 & -3 & -3\end{bmatrix}/ (-3) =\begin{bmatrix}0 & 1 & 1\end{bmatrix}\]\[-500000 / (-3) = \frac{500000}{3}\]- Fila 3: \( F_3 \leftarrow F_3 / 1.4 \)\[\begin{bmatrix}0 & 0 & 1.4\end{bmatrix}/ 1.4 =\begin{bmatrix}0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]\[0 / 1.4 = 0\]La matriu resultant és:\[\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & | & 500000 \\0 & 1 & 1 & | & \frac{500000}{3} \\0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}\]

Pas 4: Fer zeros per sobre dels pivots

– Columna 3: Restem la fila 3 a les files 1 i 2 per fer zeros a \( a_{1,3} \) i \( a_{2,3} \): – Fila 2: \( F_2 \leftarrow F_2 – F_3 \) \[ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] \[ \frac{500000}{3} – 0 = \frac{500000}{3} \] – Fila 1: \( F_1 \leftarrow F_1 – F_3 \) \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] \[ 500000 – 0 = 500000 \] La matriu resultant és:\[\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & | & 500000 \\0 & 1 & 0 & | & \frac{500000}{3} \\0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}\]

– Columna 2: Restem la fila 2 a la fila 1 per fer zero a \( a_{1,2} \): – Fila 1: \( F_1 \leftarrow F_1 – F_2 \) \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] \[ 500000 – \frac{500000}{3} = \frac{1500000}{3} – \frac{500000}{3} = \frac{1000000}{3} \]La matriu resultant és:\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & | & \frac{1000000}{3} \\0 & 1 & 0 & | & \frac{500000}{3} \\0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}\]

Pas 5: Interpretació de la solució. La matriu està en forma escalonada reduïda, i la solució del sistema és:\[A = \frac{1000000}{3} \approx 333333.33 \, \text{euros}\]\[B = \frac{500000}{3} \approx 166666.67 \, \text{euros}\]\[C = 0 \, \text{euros}\]Per tant, el gestor hauria d’invertir:

– Accions (A): \( \frac{1000000}{3} \) euros (aproximadament 333.333,33 euros),

– Bons (B): \( \frac{500000}{3} \) euros (aproximadament 166.666,67 euros),

– Dipòsits (C): 0 euros.

Comprovació:

1. \( A + B + C = \frac{1000000}{3} + \frac{500000}{3} + 0 = \frac{1500000}{3} = 500000 \), que compleix la primera condició.

2. \( A = 2(B + C) \): \( \frac{1000000}{3} = 2 \left( \frac{500000}{3} + 0 \right) = 2 \cdot \frac{500000}{3} = \frac{1000000}{3} \), que compleix la segona condició.

3. \( B + 0.3C = \frac{1}{2}A \): \( \frac{500000}{3} + 0.3 \cdot 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1000000}{3} = \frac{500000}{3} \), que compleix la tercera condició. La solució és correcta.