Làmpada de vapor de sodi

Considerem un diamant il·luminat per una làmpada d’enllumenat públic. El vapor de sodi calent d’aquesta lluminària emet llum groga, una ona electromagnètica amb freqüència de $5,09 \cdot 10^{14} \, \text{Hz}$. Per a la freqüència en estudi, el diamant té una permitivitat dielèctrica $\varepsilon_r = 5,84$ i una permeabilitat magnètica $\mu_r = 1$. a) Calcular la longitud d’ona si la llum es propaga a l’aire (aproximadament igual al buit). b) Calcular la velocitat de propagació i la longitud d’ona que tindrà quan es propaga al diamant.

a)
$$v = \lambda f \rightarrow \lambda_{\text{aire}} = \frac{v}{f} = \frac{c}{f} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{5,09 \cdot 10^{14} \, \text{rad/s}} = 5,89 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 589,4 \, \text{nm}$$

b)
$$v_{\text{diamant}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{\sqrt{1 \cdot 5,84}} = 1,24 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$$

La velocitat d’una ona en un dielèctric diferent de l’aire o el buit sempre és menor que la velocitat de la llum.

Llavors:
$$\lambda_{\text{diamant}} = \frac{v}{f} = \frac{1,24 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{5,09 \cdot 10^{14} \, \text{rad/s}} = 2,4389 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 243,9 \, \text{nm}$$

Observeu que la freqüència es manté constant.