Flux d’Aigua en un Sifó amb Bernoulli

El sifó de la figura transfereix aigua d’un recipient a un altre més baix, per la qual cosa ha d’elevar l’aigua una alçada \( h_2 \) sobre el nivell del primer recipient. Si la secció transversal del sifó és \( 4 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2 \), \( h_2 = 3 \, \text{m} \), \( h_3 = 5 \, \text{m} \), i en el punt 3 la pressió és la atmosfèrica \( P_0 \) i val \( 10^5 \, \text{N}/\text{m}^2 \),TROBAR: a) Pressió en el punt 1 del sifó. b) Pressió en el punt 2 del sifó. c) Velocitat \( v \) de l’aigua en el sifó. d) Volum d’aigua que passa per segon per el sifó.

Considerem alçada nul·la a l’horitzontal que passa per 1, el teorema de Bernoulli ens diu que per a tots els punts d’una línia de corrent d’un fluid en règim estacionari:

\[ p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{cte} \]sent: \( p \) la pressió, \( \rho \) la densitat del fluid, \( v \) la velocitat i \( h \) l’alçada.

a) Aplicant aquesta equació als punts 0 i 1 tenim:\[ P_0 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 \]d’on\[ P_1 = P_0 – \frac{1}{2} \rho v_1^2 \]Coneguda \( v_1 \), sabem \( P_1 \), ja que \( \rho = 1 \, \text{g/cm}^3 = 1000 \, \text{Kg/m}^3 \)

b) La pressió en el punt 2 s’obté de:\[ P_0 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]\[ P_2 = P_0 – \frac{1}{2} \rho v_2^2 – \rho g h_2 \]Falta conèixer \( v_2 \) per hallar \( P_2 \)

c) La velocitat amb la que surt l’aigua del sifó és \( v_3 \), s’obté en aplicar el teorema de Bernoulli entre els punts 0 i 3:\[ P_0 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_3^2 – \rho g h_3 \]d’on:\[ v_3 = \sqrt{2 g h_3} \quad (\text{Teorema de Torricelli}) \]Si suposem l’aigua incompressible, al ser la secció del sifó constant, el teorema de continuïtat ens diu que:

\[ S v = \text{cte} \]que equival a \( v = \text{cte} \)és dir la velocitat en els punts del sifó és constant per la qual:\[ v_1 = v_2 = v_3 = \sqrt{2 g h_3} \]\[ v_1 = v_2 = v_3 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 5} = 9.90 \, \text{m/s} \]Ara ja podem hallar \( P_1 \) i \( P_2 \)\[ P_1 = P_0 – \frac{1}{2} \rho v^2 = P_0 – \rho g h_3 = 10^5 – 1000 \cdot 9.8 \cdot 5 \]\[ P_1 = 5.1 \cdot 10^4 \, \text{N/m}^2 \]\[ P_2 = P_0 – \frac{1}{2} \rho v^2 – \rho g h_2 = P_0 – \rho g (h_2 + h_3) = 10^5 – 1000 \cdot 9.8 \cdot 8 \]\[ P_2 = 2.16 \cdot 10^4 \, \text{N/m}^2 \]d) El volum per unitat de temps que passa per el sifó és:\[ \text{Caudal} = S v \]\[ \text{Caudal} = 4 \cdot 10^{-4} \cdot 9.9 = 3.96 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s} \]