Càlcul del Temps de Buidat d’un Dipòsit d’Aigua

Un dipòsit ple d’aigua té una secció de $10$ m$^2$ i una alçària de $1$ m. Calcula el temps que tardarà a disminuir el nivell d’aigua a la meitat quan es buida a través d’un forat situat al fons de secció $100$ cm$^2$.

La velocitat de sortida del líquid per l’orifici del fons és: \[ v = \sqrt{2gh} \]El gasto o volum de líquid que surt en la unitat de temps és: \[ \frac{dV}{dt} = sv \]Al ser el volum de líquid: \[ dV = Sdh \]es té \[ S \frac{dh}{dt} = sv \]i resulta en substituir: \[ S \frac{dh}{dt} = s \sqrt{2gh} \](al disminuir l’alçada amb el temps, afegim el signe -) d’aquí: \[ dt = – \frac{S}{\sqrt{2g}} \frac{dh}{\sqrt{h}} \]Integrant entre els instants 0 i \( t \) en què l’alçada del líquid al dipòsit és 1 m i 0’5 m es té: \[ \int_0^t dt = – \frac{S}{s \sqrt{2g}} \int_1^{0.5} \frac{dh}{\sqrt{h}} \]

\[ t = – \frac{S}{s \sqrt{2g}} \left[ 2 h^{1/2} \right]_1^{0.5} \]Substituint valors\[ t = – \frac{-10 \, \text{m}^2}{0.01 \, \text{m}^2 \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{m}/\text{s}^2}} \cdot 2 \left( \sqrt{0.5} – 1 \right) \]obtenim: \( t = 132 \, \text{s que és el temps pedit.} \)