Estudi de Mercat per a un Nou Producte: Anàlisi de Vendes i Benefici

En una empresa han fet un estudi de mercat per saber l’acceptació que tindrà un nou producte. Els tècnics de l’empresa han determinat que el nombre d’unitats que es vendran del nou producte dependrà del seu preu de venda. La relació entre les dues quantitats és:\[V(p) = 1500 – 2p\]On \( p \) = preu de venda en euros i \( V \) = nombre d’unitats venudes.a) A partir de quin preu no es vendrà cap unitat del nou producte? b) Tenint en compte que el cost de fabricació i distribució de cada producte és de 100 €, troba la funció \( B(p) \) que dona el benefici de l’empresa per la venda de tots els productes en funció del preu de venda? c) Per quin preu de venda el benefici serà màxim? d) Quin serà aquest benefici màxim i quantes unitats es vendran en aquest cas?

Dades inicials:

• Funció de vendes: \( V(p) = 1500 – 2p \), on \( p \) és el preu de venda en euros i \( V \) el nombre d’unitats venudes.

• Cost de fabricació i distribució per unitat: 100 €.

a) A partir de quin preu no es vendrà cap unitat del nou producte? No es vendrà cap unitat quan \( V(p) = 0 \).\[1500 – 2p = 0\]\[2p = 1500\]\[p = 750\]

Resposta: A partir d’un preu de 750 €, no es vendrà cap unitat.

b) Funció del benefici \( B(p) \) en funció del preu de venda. El benefici es calcula com:\[B(p) = \text{Ingressos} – \text{Costos}\]

• Ingressos: Preu per unitat (\( p \)) multiplicat pel nombre d’unitats venudes (\( V(p) \)):\[\text{Ingressos} = p \cdot V(p) = p \cdot (1500 – 2p)\]

• Costos: Cost per unitat (100 €) multiplicat pel nombre d’unitats venudes (\( V(p) \)):\[\text{Costos} = 100 \cdot V(p) = 100 \cdot (1500 – 2p)\]

• Benefici:\[B(p) = p \cdot (1500 – 2p) – 100 \cdot (1500 – 2p)\]Factoritzem:\[B(p) = (1500 – 2p) \cdot (p – 100)\]O, expandint:\[B(p) = (1500 – 2p)(p – 100) = 1500p – 150000 – 2p^2 + 200p\]\[B(p) = -2p^2 + 1700p – 150000\]

Resposta: La funció del benefici és \( B(p) = -2p^2 + 1700p – 150000 \).

c) Preu de venda per al benefici màxim. La funció \( B(p) = -2p^2 + 1700p – 150000 \) és una paràbola còncava (coeficient de \( p^2 \) negatiu). El benefici màxim es troba al vèrtex, calculat com:\[p = -\frac{b}{2a}\]On \( a = -2 \), \( b = 1700 \):\[p = -\frac{1700}{2 \cdot (-2)} = \frac{1700}{4} = 425\]

Resposta: El benefici serà màxim quan el preu de venda és 425 €.

d) Benefici màxim i nombre d’unitats venudes

• Benefici màxim: Substituïm \( p = 425 \) a \( B(p) \):\[B(425) = -2(425)^2 + 1700(425) – 150000\]\[= -2(180625) + 722500 – 150000\]\[= -361250 + 722500 – 150000\]\[= 211250\]

• Nombre d’unitats venudes: Substituïm \( p = 425 \) a \( V(p) \):\[V(425) = 1500 – 2(425) = 1500 – 850 = 650\]

Resposta: El benefici màxim és 211250 €, i es vendran 650 unitats.

Resum final:

a) 750 €

b) \( B(p) = -2p^2 + 1700p – 150000 \)

c) 425 €

d) Benefici màxim: 211250 €; unitats venudes: 650