Estudi de la Continuïtat de la Funció Definida a Trossos

Donada la funció definida a trossos\[f(x) = \begin{cases} -2x + 1 & \text{si } x \leq -1 \\x^2 – k & \text{si } -1 < x < 2 \\\frac{x^2 + 3x – 1}{x – 2} & \text{si } x \geq 2 \end{cases}\]a) Estudieu la continuïtat de \( f(x) \) en el punt \( x = -1 \) si \( k = 1 \). En el cas que la funció sigui discontínua, digues quin és el tipus de discontinuïtat. b) Estudieu la continuïtat de \( f(x) \) en el punt \( x = 2 \) si \( k = 0 \). En el cas que la funció sigui discontínua, digues quin és el tipus de discontinuïtat. c) Existeix algun valor de \( k \) pel qual la funció \( f(x) \) sigui contínua en \( x = -1 \)? Si la resposta és afirmativa, determina aquest valor.

Per estudiar la continuïtat d’una funció en un punt, cal verificar que:

1. El límit per l’esquerra i per la dreta existeixen.

2. Aquests límits són iguals.

3. El valor de la funció en el punt coincideix amb el límit.

a) Continuïtat de \( f(x) \) en \( x = -1 \) si \( k = 1 \). Perquè \( f(x) \) sigui contínua en \( x = -1 \), s’ha de complir:\[\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)\]

• Límit per l’esquerra (\( x \to -1^- \)): Per \( x \leq -1 \), la funció és \( f(x) = -2x + 1 \). \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3 \]

• Límit per la dreta (\( x \to -1^+ \)): Per \( -1 < x < 2 \), la funció és \( f(x) = x^2 – k \).

Com que \( k = 1 \), \[ f(x) = x^2 – 1 \] \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 – 1 = 1 – 1 = 0 \]

• Valor de la funció en \( x = -1 \): Com que \( x = -1 \) pertany a \( x \leq -1 \), tenim: \[ f(-1) = -2(-1) + 1 = 3 \]

• Comparació: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = 3, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = 0, \quad f(-1) = 3 \]

Com que el límit per l’esquerra (3) no és igual al límit per la dreta (0), el límit total \(\lim_{x \to -1} f(x)\) no existeix. Per tant, la funció és discontínua en \( x = -1 \).

• Tipus de discontinuïtat: Com que els límits laterals existeixen però són diferents (\( 3 \neq 0 \)), la discontinuïtat és de salt.

Resposta a): La funció és discontínua en \( x = -1 \) amb una discontinuïtat de salt.

b) Continuïtat de \( f(x) \) en \( x = 2 \) si \( k = 0 \). Perquè \( f(x) \) sigui contínua en \( x = 2 \), s’ha de complir:\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)\]

• Límit per l’esquerra (\( x \to 2^- \)): Per \( -1 < x < 2 \), la funció és \( f(x) = x^2 – k \). Com que \( k = 0 \), \[ f(x) = x^2 \] \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 = 4 \]

• Límit per la dreta (\( x \to 2^+ \)): Per \( x \geq 2 \), la funció és: \[ f(x) = \frac{x^2 + 3x – 1}{x – 2} \] Simplifiquem l’expressió: \[ \frac{x^2 + 3x – 1}{x – 2} = \frac{(x – 2)(x + 5) + 9}{x – 2} = x + 5 + \frac{9}{x – 2} \] Per tant, \[ \lim_{x \to 2^+} \left( x + 5 + \frac{9}{x – 2} \right) \]

Quan \( x \to 2^+ \), el terme \(\frac{9}{x – 2} \to +\infty\). Així, el límit per la dreta tendeix a \( +\infty \), i per tant no existeix (com a valor finit).

• Valor de la funció en \( x = 2 \): Com que \( x = 2 \) pertany a \( x \geq 2 \), tenim: \[ f(2) = \frac{2^2 + 3 \cdot 2 – 1}{2 – 2} = \frac{4 + 6 – 1}{0} = \frac{9}{0} \] Això és indefinit, ja que la funció no està definida en \( x = 2 \) (divisió per zero).

• Comparació: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 4, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) \to +\infty, \quad f(2) \text{ no definida} \]

Com que el límit per la dreta no existeix (tendeix a l’infinit) i la funció no està definida en \( x = 2 \), la funció és discontínua en \( x = 2 \).

• Tipus de discontinuïtat: Com que el límit per la dreta tendeix a l’infinit, la discontinuïtat és de tipus asimptòtica (o de salt infinit).

Resposta b): La funció és discontínua en \( x = 2 \) amb una discontinuïtat asintòtica.

c) Existeix algun valor de \( k \) per al qual \( f(x) \) sigui contínua en \( x = -1 \)?

Perquè \( f(x) \) sigui contínua en \( x = -1 \), s’ha de complir:\[\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)\]

• Límit per l’esquerra (\( x \to -1^- \)): Per \( x \leq -1 \), \( f(x) = -2x + 1 \). \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -2(-1) + 1 = 3 \]

• Límit per la dreta (\( x \to -1^+ \)): Per \( -1 < x < 2 \), \( f(x) = x^2 – k \). \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 – k = 1 – k \]

• Valor de la funció en \( x = -1 \): Com que \( x = -1 \) pertany a \( x \leq -1 \), \[ f(-1) = -2(-1) + 1 = 3 \]

• Condició de continuïtat: Perquè la funció sigui contínua, els límits laterals han de ser iguals i iguals al valor de la funció: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) \] \[ 3 = 1 – k \] Resolent per \( k \): \[ 1 – k = 3 \implies k = 1 – 3 \implies k = -2 \]

• Verificació: Si \( k = -2 \), el límit per la dreta és: \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = 1 – (-2) = 1 + 2 = 3 \] Ara: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = 3, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = 3, \quad f(-1) = 3 \] Com que els límits i el valor de la funció coincideixen, la funció és contínua en \( x = -1 \) per \( k = -2 \).

Resposta c): Sí, existeix un valor de \( k \) que fa \( f(x) \) contínua en \( x = -1 \), i aquest valor és \( k = -2 \).

Resum Final

• a) La funció és discontínua en \( x = -1 \) amb una discontinuïtat de salt.

• b) La funció és discontínua en \( x = 2 \) amb una discontinuïtat asintòtica.

• c) La funció és contínua en \( x = -1 \) per \( k = -2 \).

El gràfic de la funció definida a trossos amb $k = -\frac{9}{2}$, que la fa contínua a $x = -1$. Podem veure clarament la discontinuïtat en $x = 2$, on la funció no és definida.