Estudi de la Dinàmica de Microorganismes en una Mostra de Laboratori

Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció $$f(x) = \frac{15x}{9 + x^2} + k$$ en què $x$ representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’estudi. a) Determineu el valor de $k$ si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia $50$ microorganismes. Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s’arribarà? En quin instant s’assolirà el màxim? b) En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini?

a) Determinació de $k$, màxim i instant de màxim

Al principi de l’estudi, quan $x = 0$, el nombre de microorganismes és $50$, que correspon a $f(0) = 5$ desenes (ja que es mesura en desenes). Substituint en la funció:
$$f(0) = \frac{15 \cdot 0}{9 + 0^2} + k = k = 5.$$
Per tant, el valor de $k$ és $5$.

La funció completa és:
$$f(x) = \frac{15x}{9 + x^2} + 5.$$

Per trobar el màxim, calculem la derivada primera de $f(x)$:
$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{15x}{9 + x^2} \right) + 0 = 15 \cdot \frac{(9 + x^2) \cdot 1 – x \cdot 2x}{(9 + x^2)^2} = 15 \cdot \frac{9 + x^2 – 2x^2}{(9 + x^2)^2} = \frac{15(9 – x^2)}{(9 + x^2)^2}.$$

Igualem la derivada a zero per trobar els punts crítics:
$$15(9 – x^2) = 0 \implies 9 – x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3.$$
Com que $x \geq 0$ (hores transcorregudes), prenem $x = 3$.

Per confirmar que és un màxim, analitzem el signe de $f'(x)$:

• Per $x < 3$ (ex. $x = 0$), $9 – x^2 > 0$, així $f'(x) > 0$ (creixent).
• Per $x > 3$ (ex. $x = 4$), $9 – x^2 < 0$, així $f'(x) < 0$ (decrescent).

Per tant, $x = 3$ és un màxim local (i global, donada la forma de la funció).

El valor màxim és:
$$f(3) = \frac{15 \cdot 3}{9 + 3^2} + 5 = \frac{45}{9 + 9} + 5 = \frac{45}{18} + 5 = 2,5 + 5 = 7,5$$ desenes,
és a dir, $75$ microorganismes, assolit a $x = 3$ hores.

b) Valor d’estabilització a llarg termini

A llarg termini, quan $x \to \infty$, analitzem el límit de la funció:
$$f(x) = \frac{15x}{9 + x^2} + 5 \to 0 + 5 = 5$$ desenes,
ja que $\frac{15x}{9 + x^2} = \frac{15x}{x^2(9/x^2 + 1)} = \frac{15/x}{9/x^2 + 1} \to \frac{0}{0 + 1} = 0$.

Per tant, el nombre de microorganismes s’estabilitza en $50$ microorganismes.