Càlcul del rang de la matriu per a diferents valors de a

Calcular per als diferents valors de $a$ el rang de la matriu següent: $$\begin{pmatrix}9 & a & -1 \\ 4a & -2 & a – 1 \\ 5 & 2a – 1 & -3\end{pmatrix}$$

---

Per determinar el rang de la matriu donada per a diferents valors de $a$:

$$A = \begin{pmatrix}
9 & a & -1 \\
4a & -2 & a – 1 \\
5 & 2a – 1 & -3
\end{pmatrix}$$

el rang d’una matriu és el nombre de files o columnes linealment independents, el qual es pot calcular mitjançant operacions de fila (escalonament) per portar la matriu a la seva forma escalonada reduïda i comptar les files no nul·les. Procedirem pas a pas, analitzant com el valor de $a$ afecta el rang.

---

Pas 1: Definir el rang

El rang d’una matriu $A$ de $3 \times 3$ pot ser 1, 2 o 3, segons si les files (o columnes) són linealment dependents. Per trobar el rang, podem:

1. Escalonar la matriu i comptar les files no nul·les.
2. O, equivalentment, calcular el determinant per verificar si el rang és 3 (determinant no nul) o menor (determinant nul, en aquest cas analitzem submatrius).

Pas 2: Escalonament de la matriu

Realitzem operacions de fila per portar la matriu a la seva forma escalonada. La matriu és:

$$A = \begin{pmatrix}
9 & a & -1 \\
4a & -2 & a – 1 \\
5 & 2a – 1 & -3
\end{pmatrix}$$

Operacions de fila:

1. Fer el pivots a la primera columna. La primera entrada és 9. Normalitzem la primera fila dividint per 9 (tot i que no és estrictament necessari):

$$F_1 \to \frac{1}{9}F_1: \begin{pmatrix} 1 & \frac{a}{9} & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$$

2. Eliminar la primera columna a les files 2 i 3.

• Per a la segona fila, eliminem el $4a$. Realitzem $F_2 \to F_2 – 4a F_1$:

$$F_2 = \begin{pmatrix} 4a & -2 & a – 1 \end{pmatrix} – 4a \begin{pmatrix} 1 & \frac{a}{9} & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 4a – 4a & -2 – 4a \cdot \frac{a}{9} & a – 1 – 4a \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 & -2 – \frac{4a^2}{9} & a – 1 + \frac{4a}{9} \end{pmatrix}$$

Simplifiquem els coeficients:

• Segona columna: $-2 – \frac{4a^2}{9} = -\frac{18 + 4a^2}{9}$.
• Tercera columna: $a – 1 + \frac{4a}{9} = \frac{9a – 9 + 4a}{9} = \frac{13a – 9}{9}$.

Llavors, la segona fila queda:

$$\begin{pmatrix} 0 & -\frac{4a^2 + 18}{9} & \frac{13a – 9}{9} \end{pmatrix}$$

• Per a la tercera fila, eliminem el 5. Realitzem $F_3 \to F_3 – 5 F_1$:

$$F_3 = \begin{pmatrix} 5 & 2a – 1 & -3 \end{pmatrix} – 5 \begin{pmatrix} 1 & \frac{a}{9} & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 5 – 5 & (2a – 1) – 5 \cdot \frac{a}{9} & -3 – 5 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 & (2a – 1) – \frac{5a}{9} & -3 + \frac{5}{9} \end{pmatrix}$$

Simplifiquem:

• Segona columna: $2a – 1 – \frac{5a}{9} = \frac{18a – 9 – 5a}{9} = \frac{13a – 9}{9}$.
• Tercera columna: $-3 + \frac{5}{9} = -\frac{27}{9} + \frac{5}{9} = -\frac{22}{9}$.

Llavors, la tercera fila queda:

$$\begin{pmatrix} 0 & \frac{13a – 9}{9} & -\frac{22}{9} \end{pmatrix}$$

La matriu escalonada parcial és:

$$\begin{pmatrix}
1 & \frac{a}{9} & -\frac{1}{9} \\
0 & -\frac{4a^2 + 18}{9} & \frac{13a – 9}{9} \\
0 & \frac{13a – 9}{9} & -\frac{22}{9}
\end{pmatrix}$$

3. Simplificar la segona i tercera files. Observem que la segona columna de les files 2 i 3 té termes que podem intentar fer proporcionals per eliminar una fila. La segona columna té:

• Fila 2: $-\frac{4a^2 + 18}{9}$.
• Fila 3: $\frac{13a – 9}{9}$.

Intentem fer la tercera fila proporcional a la segona o eliminar-la. Provem d’eliminar la segona columna a la tercera fila. Per això, necessitem que el coeficient de la segona columna a $F_3$ sigui zero. Calculem el factor per combinar $F_2$ i $F_3$:

Multipliquem $F_3$ per $-(4a^2 + 18)$ i $F_2$ per $13a – 9$, i sumem:

$$F_3 \to (13a – 9) F_3 + (4a^2 + 18) F_2$$

Això és complex, així que simplifiquem verificant si les files 2 i 3 són proporcionals per a certs valors de $a$. Comparem les segones i terceres columnes:

• Segona columna: $-\frac{4a^2 + 18}{9} ) i $\frac{13a – 9}{9}$.
• Tercera columna: $\frac{13a – 9}{9}$ i $-\frac{22}{9}$.

Perquè siguin proporcionals:

$$\frac{-(4a^2 + 18)}{13a – 9} = \frac{\frac{13a – 9}{9}}{-\frac{22}{9}}$$

Simplifiquem el costat dret:

$$\frac{13a – 9}{9} \cdot \frac{9}{-22} = -\frac{13a – 9}{22}$$

Llavors:

$$\frac{-(4a^2 + 18)}{13a – 9} = -\frac{13a – 9}{22}$$

Multipliquem ambdós costats per $(13a – 9) \cdot 22$:

$$-(4a^2 + 18) \cdot 22 = -(13a – 9)^2$$

$$-22(4a^2 + 18) = -(169a^2 – 234a + 81)$$

$$-88a^2 – 396 = -169a^2 + 234a – 81$$

$$169a^2 – 88a^2 – 234a + 81 – 396 = 0$$

$$81a^2 – 234a – 315 = 0$$

Dividim per 9:

$$9a^2 – 26a – 35 = 0$$

Resolem l’equació quadràtica:

$$a = \frac{26 \pm \sqrt{676 + 1260}}{18} = \frac{26 \pm \sqrt{1936}}{18} = \frac{26 \pm 44}{18}$$

• $a = \frac{70}{18} = \frac{35}{9}$.
• $a = \frac{-18}{18} = -1$.

Pas 3: Analitzar el rang per als valors crítics

Avaluem el rang per a $a = \frac{35}{9}$, $a = -1$, i per a altres valors de $a$.

Cas 1: $a = \frac{35}{9}$

Substituïm $a = \frac{35}{9}$:

$$A = \begin{pmatrix}
9 & \frac{35}{9} & -1 \\
4 \cdot \frac{35}{9} & -2 & \frac{35}{9} – 1 \\
5 & 2 \cdot \frac{35}{9} – 1 & -3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
9 & \frac{35}{9} & -1 \\
\frac{140}{9} & -2 & \frac{26}{9} \\
5 & \frac{61}{9} & -3
\end{pmatrix}$$

Tornem a escalonar. Primera fila normalitzada:

$$F_1 \to \frac{1}{9}F_1: \begin{pmatrix} 1 & \frac{35}{81} & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$$

Segona fila: $F_2 \to F_2 – \frac{140}{9} F_1$:

$$F_2 = \begin{pmatrix} \frac{140}{9} & -2 & \frac{26}{9} \end{pmatrix} – \frac{140}{9} \begin{pmatrix} 1 & \frac{35}{81} & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 & -2 – \frac{140}{9} \cdot \frac{35}{81} & \frac{26}{9} – \frac{140}{9} \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 & -2 – \frac{4900}{729} & \frac{26}{9} + \frac{140}{81} \end{pmatrix}$$

Simplifiquem:

• Segona columna: $-2 – \frac{4900}{729} = -\frac{1458 + 4900}{729} = -\frac{6358}{729}$.
• Tercera columna: $\frac{26}{9} + \frac{140}{81} = \frac{2106}{729} + \frac{140}{81} = \frac{2106 + 1260}{729} = \frac{3366}{729} = \frac{374}{81}$.

Tercera fila: $F_3 \to F_3 – 5 F_1$:

$$F_3 = \begin{pmatrix} 5 & \frac{61}{9} & -3 \end{pmatrix} – 5 \begin{pmatrix} 1 & \frac{35}{81} & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 & \frac{61}{9} – \frac{175}{81} & -3 + \frac{5}{9} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 & \frac{549 – 175}{81} = \frac{374}{81} & -\frac{27 – 5}{9} = -\frac{22}{9} \end{pmatrix}$$

Matriu escalonada:

$$\begin{pmatrix}
1 & \frac{35}{81} & -\frac{1}{9} \\
0 & -\frac{6358}{729} & \frac{374}{81} \\
0 & \frac{374}{81} & -\frac{22}{9}
\end{pmatrix}$$

Eliminem la segona columna a $F_3$:

$$F_3 \to \frac{6358}{729} F_3 + \frac{374}{81} F_2$$

Això dona una fila nul·la (per la proporcionalitat trobada), indicant que el rang és menor que 3. Verifiquem submatrius $2 \times 2$:

$$\begin{pmatrix} 9 & \frac{35}{9} \ \frac{140}{9} & -2 \end{pmatrix} \to \text{Determinant} = 9 \cdot (-2) – \frac{35}{9} \cdot \frac{140}{9} = -18 – \frac{4900}{81} \neq 0$$

El rang és 2.

Cas 2: $a = -1$

Substituïm $a = -1$:

$$A = \begin{pmatrix}
9 & -1 & -1 \\
-4 & -2 & -2 \\
5 & -3 & -3
\end{pmatrix}$$

Observem que la tercera columna és proporcional a la segona ($-1, -2, -3$), cosa que suggereix dependència lineal. Escalonem:

$$F_2 \to F_2 + \frac{4}{9} F_1, \quad F_3 \to F_3 – \frac{5}{9} F_1$$

Això dona files amb zeros a la primera columna, i en analitzar les files 2 i 3, trobem que són proporcionals, resultant en rang 2.

Cas 3: Altres valors de $a$

Per a $a \neq \frac{35}{9}, -1$, el determinant de la matriu no és zero (calculat numèricament o simbòlicament), i les files són linealment independents, donant rang 3.

Resposta final:

$$\boxed{
\text{rang} =
\begin{cases}
2 & \text{si } a = \frac{35}{9} \text{ o } a = -1 \\
3 & \text{per a qualsevol altre valor de } a
\end{cases}
}$$