Estudi de dependència lineal i producte mixt per a vectors amb paràmetre

Donats els vectors $\vec{u} = (a, 1 + a, 2a)$, $\vec{v} = (a, 1, a)$ i $\vec{w} = (1, a, 1)$, es demana: a) Determinar els valors de $a$ perquè els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ siguin linealment dependents. b) Estudiar si el vector $\vec{c} = (3, 3, 0)$ depèn linealment dels vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ per al cas $a = 2$. Justificar la resposta. c) Justificar raonadament si per a $a = 0$ es compleix la igualtat $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$.

a)
$$\left|
\begin{matrix}
a & 1+a & 2a \\
a & 1 & a \\
1 & a & 1
\end{matrix}
\right|
= a(a^2 – 1) = 0 \implies a = 0,\ a = \pm 1$$

Si $a \neq 0$ i $a \neq \pm 1$ $\implies \vec{u}, \vec{v}$ i $\vec{w}$ són Linealment Independents.

Si $a = 0$ o $a = \pm 1$ $\implies \vec{u}, \vec{v}$ i $\vec{w}$ són Linealment Dependents.

b) si $a = 2$, los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, forman una base. Luego el vector $\vec{c} = (3,3,0)$ es combinación lineal

de $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$. Veiem de quina combinació lineal es tracta, tenim:

$$\left\{
\begin{align} \vec{u} &= (2, 3, 4) \\ \vec{v} &= (2, 1, 2) \\ \vec{w} &= (1, 2, 1) \end{align}
\right.$$

$$(3, 3, 0) = a(2, 3, 4) + b(2, 1, 2) + c(1, 2, 1) \implies$$

$$\left\{
\begin{array}{rcrcr}
2a + & 2b + & c & = & 3 \\
3a + & b + & 2c & = & 3 \\
4a + & 2b + & c & = & 0
\end{array}
\right.
\implies
\left\{
\begin{array}{l}
a = -\dfrac{3}{2} \\
b = \dfrac{3}{2} \\
c = 3
\end{array}
\right.$$

$$\vec{c} = -\dfrac{3}{2} \vec{u} + \dfrac{3}{2} \vec{v} + 3 \vec{w}$$

c) Si $a = 0$ tenim:

$$\left\{
\begin{align} \vec{u} &= (0, 1, 0) \\ \vec{v} &= (0, 1, 0) \\ \vec{w} &= (1, 0, 1) \end{align}
\right.$$

Sabem que $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \wedge \vec{w})$. Però

$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] =
\left|
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{matrix}
\right| = 0$$

Llavors $\vec{u} \cdot (\vec{v} \wedge \vec{w}) = 0$