Determinació de la càrrega de l’electró: Experiment de Millikan

L’experiment de Millikan va permetre determinar la càrrega de l’electró. El muntatge d’aquest experiment consta de dues plaques metàl·liques horitzontals, una sobre de l’altra, separades verticalment per una distància $d$ i connectades a una font de potencial elèctric regulable. En l’espai que hi ha entre les plaques s’introdueixen algunes gotetes d’oli carregades negativament. L’experiment consisteix a crear un camp elèctric entre les plaques i aconseguir una posició d’equilibri de les gotetes d’oli contrarestaurant el seu pes. a) Feu un esquema del dispositiu emprat per Millikan, dibuixant les forces que actuen sobre una gota d’oli esfèrica. Indiqueu i raoneu el signe de la càrrega, la direcció i el sentit del camp elèctric generat per aquestes plaques que tindrà cada placa i la direcció. Suposant que les plaques es connecten a un potencial elèctric de $2,00\ \text{kV}$ i que la distància entre plaques és $d = 2,00\ \text{cm}$, calculeu el camp elèctric creat entre plaques i dibuixeu-lo en el mateix esquema. b) Tenint en compte que la densitat de l’oli és $923\ \text{kg m}^{-3}$ i que el radi d’una gota és $r = 1,08\mu m$, calculeu la càrrega d’una gota que es troba en equilibri. Quants electrons calen per generar aquesta càrrega? Què s’observaria si il·luminéssim la gota amb raigs ultraviolats i aquesta perdés un electró? Justifiqueu la resposta.

$\textbf{Dades:}$ $|e| = 1,602e-19\ \text{C}$, $m_e = 9,11e-31\ \text{kg}$, $g = 9,8\ \text{m s}^{-2}$, Volum d’una esfera: $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

a) Esquema i camp elèctric

Esquema del dispositiu amb les plaques horitzontals, el voltatge aplicat i les dues forces que actuen sobre la gota d’oli carregada negativament:

Les dues plaques formen un condensador pla. Perquè la gota carregada negativament pugui ser equilibrada cap amunt, la placa superior ha de ser positiva i la placa inferior negativa. D’aquesta manera el camp elèctric $\vec{E}$ apunta cap avall i la força elèctrica $\vec{F_e} = q\vec{E}$ (amb $q<0$) apunta cap amunt, contrarestaurant el pes que apunta cap avall.

El camp elèctric entre plaques d’un condensador pla amb potencial $V = 2000$ V i separació $d = 2,00$ cm $= 0,02$ m és homogeni i val:

$$|\vec{E}| = \frac{V}{d} = \frac{2000}{0,02} = 10^5 \, \text{V/m} = 100000 \, \text{V/m}.$$

El camp elèctric és homogeni i dirigit cap avall (de la placa positiva a la negativa). Per tant, les línies de camp són rectes verticals, paral·leles i equidistants, apuntant cap avall.

b) Càrrega de la gota i nombre d’electrons

Càlcul de la càrrega $q$ de la gota en equilibri.

El pes de la gota és $P = mg$, on la massa $m$ es calcula a partir de la densitat i el volum:

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad r = 1,08 \times 10^{-6} \, \text{m}$$

$$V = \frac{4}{3}\pi (1,08 \times 10^{-6})^3 \approx 5,27 \times 10^{-18} \, \text{m}^3$$

$$m = \rho V = 923 \times 5,27 \times 10^{-18} \approx 4,87 \times 10^{-15} \, \text{kg}$$

$$P = mg = 4,87 \times 10^{-15} \times 9,8 \approx 4,77 \times 10^{-14} \, \text{N}$$

En equilibri: $F_e = P \quad \Rightarrow \quad |q| E = mg \quad \Rightarrow \quad |q| = \frac{mg}{E}$

$$|q| = \frac{4,77 \times 10^{-14}}{10^5} = 4,77 \times 10^{-19} \, \text{C}$$

Nombre d’electrons $n$:

$$n = \frac{|q|}{|e|} = \frac{4,77 \times 10^{-19}}{1,602 \times 10^{-19}} \approx 3$$

Per tant, la gota porta 3 electrons (càrrega negativa).

Si la gota perd un electró (queda amb només 2 electrons), la càrrega es redueix a $|q’| = 2|e| \approx 3,204 \times 10^{-19}$ C. La força elèctrica passa a ser:

$$F_e’ = |q’| E \approx 3,204 \times 10^{-14} \, \text{N} < P \approx 4,77 \times 10^{-14} \, \text{N}$$

Com que $F_e’ < P$, la força elèctrica ja no pot contrarestar el pes i la gota cau cap avall.