Cinemàtica: Anàlisi d’un Tir Parabòlic des d’una Torre

Llançam un projectil des de la torre d’un castell de 50 m d’altura formant un angle de 30° amb l’horitzontal. La velocitat de llançament és de 350 m/s. Si no tenim en compte el fregament amb l’aire, calcula: (a) El temps que tarda a caure a terra. (b) L’abast màxim. (c) L’altura màxima.

Es tracta d’un tir parabòlic que no parteix de l’origen de coordenades, sinó que ho fa des d’una \( y_0 = 50 \, \text{m} \).Podem escriure les equacions del moviment: MRU per a l’eix horitzontal i MRUA per a l’eix vertical.\begin{equation}x = x_0 + v_{0x} \cdot t \rightarrow x = v_0 \cdot \cos \theta \cdot t\end{equation}\begin{equation}y = y_0 + v_{0y} \cdot t – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \rightarrow y = y_0 + v_0 \cdot \sin \theta \cdot t – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\end{equation}\begin{equation}v_y = v_{0y} – g \cdot t \rightarrow v_y = v_0 \cdot \sin \theta – g \cdot t\end{equation}

(a) Per calcular el temps que tarda a caure a terra partim de l’equació de la posició en l’eix \( y \) i substituïm la posició final \( y = 0 \):\begin{equation}0 = 50 + 175 \cdot t – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2\end{equation}De les dues solucions obtingudes prenem la positiva: \( t = 35,9 \, \text{s} \).

(b) Per determinar l’abast, calculem la distància horitzontal que ha avançat el projectil abans de tocar terra, és a dir, la distància horitzontal recorreguda en \( t = 35,9 \, \text{s} \):\begin{equation}x = 350 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 35,9 = 11090 \, \text{m}\end{equation}

(c) L’altura màxima s’assoleix en el moment que la component vertical de la velocitat es fa zero (\( v_y = 0 \)):\begin{equation}0 = v_0 \cdot \sin \theta – g \cdot t \quad \rightarrow \quad t = \frac{v_0 \cdot \sin \theta}{g} = \frac{350 \cdot 0,5}{9,8} = 17,8 \, \text{s}\end{equation}Substituïm aquest valor a l’equació de posició de l’eix \( y \):\begin{equation}y_{\text{max}} = 50 + 175 \cdot 17,8 – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (17,8)^2 = 1610 \, \text{m}\end{equation}