Càlcul d’Energia i Treball en un Procés Termodinàmic amb Gas Ideal

Un cilindre conté 5 litres d’un gas ideal a una pressió de 2 atmosferes i una temperatura de 250 K. El gas se sotmet a un procés fins que assoleix una pressió de 4 atmosferes i, a continuació, es porta a una temperatura de 650 K. Calcula l’energia absorbida pel gas durant aquests processos i el treball realitzat.

Dades:

• $c_v = 21 \, \text{J/(mol·K)}$
• $R = 8,31 \, \text{J/(mol·K)} = 0,082 \, \text{(atm·l)/(mol·K)}$
• $p_a = 2 \, \text{atm}$
• $V_a = 5 \, \text{l}$
• $T_a = 250 \, \text{K}$
• $p_b = 4 \, \text{atm}$
• $V_b = V_a$
• $p_c = p_b$
• $T_c = 650 \, \text{K}$

Incògnites: \[T_b = ? \quad V_c = ? \quad Q = ? \quad W = ?\]

En primer lloc, es calculen les magnituds termodinàmiques per als tres estats diferents per on passa el gas:

• Punt B (\( p_b = 4 \, \text{atm}, V_b = 5 \, \text{l}, T_b = ? \)). Com que \( \frac{p \cdot V}{T} = \text{cte} \), tenim \( \frac{p_a \cdot V_a}{T_a} = \frac{p_b \cdot V_b}{T_b} \), i per tant \( T_b = \frac{p_b \cdot V_b}{p_a \cdot V_a} \cdot T_a = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 5} \cdot 250 = 500 \, \text{K} \)

• Punt C (\( p_c = 4 \, \text{atm}, T_c = 650 \, \text{K}, V_c = ? \)). Anàlogament, tenim que \( V_c = \frac{V_b \cdot T_c}{T_b} = \frac{5 \cdot 650}{500} = 6,5 \, \text{l} \)

• Aplicant l’equació dels gasos perfectes, s’obtenen els mols de gas en el cilindre: \[p \cdot V = n \cdot R \cdot T \implies n = \frac{p_a \cdot V_a}{R \cdot T_a} = \frac{2 \, \text{atm} \cdot 5 \, \text{l}}{0,082 \, \text{(atm·l)/(mol·K)} \cdot 250 \, \text{K}} = 0,49 \, \text{mols}\] A continuació, aplicant el primer principi de la termodinàmica, es pot obtenir l’energia i el treball en cada procés:

• Del punt A al B (procés isòcor). \[W = 0 \quad Q = \Delta U = n \cdot c_v \cdot \Delta T = 0,49 \cdot 21 \cdot (500 – 250) = 2572,5 \, \text{J}\]

• Del punt B al C (procés isòbar) \[W = p \cdot \Delta V = 4 \, \text{atm} \cdot (6,5 \, \text{l} – 5 \, \text{l}) = 6 \, \text{atm·l} = 607,8 \, \text{J}\]Com que \( Q = n \cdot c_p \cdot \Delta T \), \( c_p = c_v + R = 21 + 8,3 = 29,3 \, \text{J/(mol·K)} \), tenim que:\[Q = 0,49 \cdot 29,3 \cdot (650 – 500) = 2153 \, \text{J}\]