Càlcul de Pèrdues de Gas Argó i Optimització del Gruix de la Finestra en un Forn de Tractaments Tèrmics

Un forn de tractaments tèrmics té una petita finestra de vidre per veure l’interior. El forn utilitza gas argó (Ar) per protegir les peces de l’oxidació, i s’esperen pèrdues de gas a través del vidre. La finestra té $3$ cm d’ample, $10$ cm d’alt i un gruix de $1,5$ cm. El forn funciona a $1200$ ºC, la concentració d’argó a l’interior és de $2$ kg/m$^3$ i a l’exterior és de $0$, restant constants durant tot el procés, que dura $4$ hores. Una bombona d’argó amb the $15$ kg de gas costa $120$ euros.

a) Calcula quant diners es perden per fuites de gas després de 10 tractaments.

b) Calcula el gruix mínim del vidre per reduir la despesa a 1 euro.

DADES:

• D₀ = 2,3·10⁻⁴ m²/s
• Qv = 45 kJ/mol

Per resoldre el problema, utilitzarem la llei de Fick per calcular el flux de gas argó a través de la finestra de vidre i després determinarem el cost associat a les fuites i el gruix mínim del vidre per reduir la despesa a 1 euro. Anem pas a pas.

---

Dades proporcionades:

• Dimensions de la finestra:
• Ample: 3 cm = 0,03 m
• Alt: 10 cm = 0,1 m
• Gruix inicial: 1,5 cm = 0,015 m
• Temperatura del forn: 1200 ºC = 1200 + 273 = 1473 K
• Concentració d’argó:
• Interior: $C_1 = 2 \, \text{kg/m}^3$
• Exterior: $C_2 = 0 \, \text{kg/m}^3$
• Durada d’un tractament: 4 h = $4 \times 3600 = 14400 \, \text{s}$
• Cost de l’argó: 15 kg costen 120 € → $\text{Cost} = \frac{120}{15} = 8 \, \text{€/kg}$
• Constants:
• $D_0 = 2,3 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2/\text{s}$
• $Q_v = 45 \, \text{kJ/mol} = 45000 \, \text{J/mol}$
• Constant dels gasos: ( R = 8,314 \, \text{J/(mol·K)}$

---

a) Cost de les fuites després de 10 tractaments

1. Càlcul del coeficient de difusió ((D)) a 1200 ºC:

El coeficient de difusió depèn de la temperatura segons l’equació d’Arrhenius:

$$D = D_0 \cdot \exp\left(-\frac{Q_v}{R \cdot T}\right)$$

Substituïm les dades:

$$D = 2,3 \cdot 10^{-4} \cdot \exp\left(-\frac{45000}{8,314 \cdot 1473}\right)$$

Calculem l’exponent:

$$\frac{45000}{8,314 \cdot 1473} = \frac{45000}{12258,522} \approx 3,670$$

$$\exp(-3,670) \approx 0,0255$$

$$D = 2,3 \cdot 10^{-4} \cdot 0,0255 \approx 5,865 \cdot 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}$$

2. Càlcul del flux de massa amb la llei de Fick:

La llei de Fick per al flux de massa ((J)) és:

$$J = -D \cdot \frac{\Delta C}{\Delta x}$$

On:

• $\Delta C = C_1 – C_2 = 2 – 0 = 2 \, \text{kg/m}^3$
• $\Delta x = 0,015 \, \text{m}$

$$J = -5,865 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{2}{0,015}$$

$$J = -5,865 \cdot 10^{-6} \cdot 133,33 \approx -7,82 \cdot 10^{-4} \, \text{kg/(m}^2 \cdot \text{s)}$$

El signe negatiu indica que el flux és en direcció oposada al gradient de concentració. Prenem el valor absolut: $J = 7,82 \cdot 10^{-4} \, \text{kg/(m}^2 \cdot \text{s)}$.

3. Càlcul de la massa total perduda en un tractament:

L’àrea de la finestra és:

$$A = \text{ample} \cdot \text{alt} = 0,03 \cdot 0,1 = 0,003 \, \text{m}^2$$

La massa perduda per unitat de temps és:

$$\text{Massa per segon} = J \cdot A = 7,82 \cdot 10^{-4} \cdot 0,003 = 2,346 \cdot 10^{-6} \, \text{kg/s}$$

Per un tractament de 4 hores (14400 s):

$$\text{Massa total} = 2,346 \cdot 10^{-6} \cdot 14400 \approx 0,03378 \, \text{kg}$$

4. Cost per un tractament:

$$\text{Cost} = 0,03378 \cdot 8 = 0,27024 \, \text{€}$$

5. Cost per 10 tractaments:

$$\text{Cost total} = 0,27024 \cdot 10 = 2,7024 \, \text{€}$$

Arrodonint: 2,7 €.

---

b) Gruix mínim del vidre per reduir la despesa a 1 €

Volem que el cost després de 10 tractaments sigui 1 €, és a dir, 0,1 € per tractament.

1. Massa màxima permesa per tractament:

$$\text{Cost per tractament} = 0,1 \, \text{€} \implies \text{Massa} = \frac{0,1}{8} = 0,0125 \, \text{kg}$$

2. Flux necessari:

La massa perduda per tractament és:

$$\text{Massa} = J \cdot A \cdot t$$

$$J = \frac{\text{Massa}}{A \cdot t} = \frac{0,0125}{0,003 \cdot 14400} = \frac{0,0125}{43,2} \approx 2,8935 \cdot 10^{-4} \, \text{kg/(m}^2 \cdot \text{s)}$$

3. Gruix del vidre ($\Delta x$):

Utilitzem la llei de Fick:

$$J = D \cdot \frac{\Delta C}{\Delta x}$$

Reorganitzem per trobar (\Delta x):

$$\Delta x = D \cdot \frac{\Delta C}{J}$$

Substituïm:

$$\Delta x = 5,865 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{2}{2,8935 \cdot 10^{-4}}$$

$$\Delta x = 5,865 \cdot 10^{-6} \cdot 6,914 \approx 4,055 \cdot 10^{-2} \, \text{m} = 0,04055 \, \text{m}$$

$$\Delta x \approx 0,04 \, \text{m} = 4 \, \text{cm}$$

---

Respostes finals:

a) El cost per les fuites de gas després de 10 tractaments és 2,7 €.

b) El gruix mínim del vidre per reduir la despesa a 1 € és 4 cm.