Resolució d’un sistema d’equacions lineals amb el mètode de Gauss

Resol el sistema d’equacions lineals $$\begin{cases}x + 2y – z = 1 \\ x + y – z = 1 \\ x – z = 1\end{cases}$$

Solució:
La matriu associada al sistema és: $$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}$$ Anem a resoldre-ho pel mètode de Gauss, ja que sembla còmode. $$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{F_2 = F_2 – F_1}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{F_3 = F_3 – F_1}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$ Les files segona i tercera són proporcionals, per tant sobre una i el sistema és compatible indeterminat. De la segona equació deduïm que $y = 0$. Si a la primera equació substituïm $y = 0$ i fem $z = \lambda$, resulta: $$x – \lambda = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 + \lambda$$ Per tant, la solució del sistema és: $$\begin{cases}x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda\end{cases}$$