Càlcul de l’energia necessària per escalfar aigua amb captadors solars

En un centre d’ensenyament, el consum diari d’aigua calenta sanitària és de \(c = 850\,\text{L}\). Cal incrementar la temperatura de l’aigua en \(\Delta t = 20\,^\circ\text{C}\) i, per això, s’hi instal·len 20 captadors solars amb un rendiment \(\eta = 0{,}45\) i una superfície \(s = 1{,}3\,\text{m}^2\) cadascun. La calor específica de l’aigua és \(c_e = 4{,}18\,\text{J}/(\text{g}\,^\circ\text{C})\).Es demana: a) L’energia diària que cal per escalfar l’aigua. b) L’energia diària que ha de captar cadascun dels captadors. c) Si la població on està situat el centre té una mitjana anual de 2600 h de sol, determinar la potència mitjana necessària de radiació solar per unitat de superfície.

Dades:

• Volum d’aigua: \(V = 850\,\text{L} \Rightarrow m = 850000\,\text{g}\)

• Increment de temperatura: \(\Delta t = 20\,^\circ\text{C}\)

• Calor específica de l’aigua: \(c_e = 4{,}18\,\text{J}/(\text{g}\,^\circ\text{C})\)

• Rendiment dels captadors: \(\eta = 0{,}45\)

• Superfície per captador: \(s = 1{,}3\,\text{m}^2\)

• Nombre de captadors: \(N = 20\)

• Hores de sol anuals: \(2600\,\text{h}\)

a) Energia diària necessària. L’energia tèrmica necessària per escalfar l’aigua és:\[Q = m \, c_e \, \Delta t\]Com que \(m = 850000\,\text{g}\),\[Q = 850000 \cdot 4{,}18 \cdot 20 = 71\,060\,000\,\text{J} = 71{,}06\,\text{MJ}\]En kWh:\[Q = \frac{71\,060\,000}{3{,}6 \times 10^{6}} = 19{,}74\,\text{kWh}\]Per tant, l’energia diària necessària és:\[\boxed{Q = 71{,}06\,\text{MJ} \approx 19{,}74\,\text{kWh}}\]

b) Energia diària per captador. L’energia útil total és \(Q = 71{,}06\,\text{MJ}\). L’energia útil que ha de proporcionar cada captador és:\[Q_{\text{útil/capt}} = \frac{Q}{N} = \frac{71{,}06}{20} = 3{,}553\,\text{MJ} \approx 0{,}987\,\text{kWh}\]Tenint en compte el rendiment \(\eta = 0{,}45\), l’energia incident necessària és:\[Q_{\text{inc/capt}} = \frac{Q_{\text{útil/capt}}}{\eta} = \frac{3{,}553}{0{,}45} = 7{,}896\,\text{MJ} \approx 2{,}193\,\text{kWh}\]Per tant:\[\boxed{Q_{\text{útil/capt}} = 3{,}553\,\text{MJ} \ (0{,}987\,\text{kWh})}\qquad\boxed{Q_{\text{inc/capt}} = 7{,}896\,\text{MJ} \ (2{,}193\,\text{kWh})}\]

c) Potència mitjana de radiació solar. Mitjana d’hores de sol per dia:\[t_{\text{dia}} = \frac{2600}{365} = 7{,}12\,\text{h/dia}\]En segons:\[t = 7{,}12 \times 3600 = 25\,632\,\text{s}\]La potència mitjana sobre cada captador és:\[P_{\text{capt}} = \frac{Q_{\text{inc/capt}}}{t} = \frac{7{,}896 \times 10^{6}}{25\,632} = 308\,\text{W}\]La potència mitjana per unitat de superfície:\[P_{\text{superfície}} = \frac{P_{\text{capt}}}{s} = \frac{308}{1{,}3} = 237\,\text{W/m}^2\]Per tant:\[\boxed{P_{\text{superfície}} \approx 237\,\text{W/m}^2}\]

a) Energia per escalfar l’aigua: \(Q = 71{,}06\,\text{MJ} \approx 19{,}74\,\text{kWh}\) (b) Energia útil per captador: \(Q_{\text{útil/capt}} = 3{,}553\,\text{MJ} \approx 0{,}987\,\text{kWh}\)

b) Energia incident per captador: \(Q_{\text{inc/capt}} = 7{,}896\,\text{MJ} \approx 2{,}193\,\text{kWh}\)

c) Potència mitjana de radiació solar: \(P_{\text{superfície}} \approx 237\,\text{W/m}^2\)\end{document}