Càlcul de la capacitat d’una memòria DRAM

Una memòria DRAM és un xip compost de moltes cel·les, on cada cel·la emmagatzema un bit d’informació. Cada cel·la està formada per un transistor i un condensador, que emmagatzema càrrega. Si està carregat, s’associa a un bit “1” i si està descarregat a un bit “0·. El condensador es pot considerar de plaques planes paral·leles i inclou un aïllant al mig, que augmenta la seva capacitat. Considereu un condensador pla d’àrea $10\ \mu\text{m}^2$ , que inclou una capa dielèctrica de SiO2, amb constant dielèctrica (o permitivitat dielèctrica relativa) $3.9$ i $30$ nm de gruix. a) Calculeu-ne la seva capacitat. b) Si apliquem una tensió de $4$ V, calculeu la càrrega del condensador i el camp elèctric entre les seves plaques. c) Sabent que el camp elèctric màxim que pot suportar el condensador (“dielectric strength”) és de $107$ V/cm pel SiO2, a partir de quina tensió es produiria la ruptura dielèctrica?

a) Càlcul de la capacitat del condensador

La capacitat $C$ d’un condensador de plaques planes es calcula amb la fórmula:

\begin{equation}
C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}
\end{equation}

On:

• $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$ (permissibilitat del buit),
• 4\varepsilon_r = 3.9$ (constant dielèctrica del SiO₂),
• $A = 10 \, \mu\text{m}^2 = 10 \times 10^{-12} \, \text{m}^2$ (àrea de les plaques),
• $d = 30 \, \text{nm} = 30 \times 10^{-9} \, \text{m}$ (gruix de la capa dielèctrica).

Substituïm els valors:

\begin{equation}
C = \frac{(8.85 \times 10^{-12}) \times 3.9 \times (10 \times 10^{-12})}{30 \times 10^{-9}} = 1.15 \times 10^{-14} \, \text{F}
\end{equation}

b) Càlcul de la càrrega i del camp elèctric

1. Càrrega $Q$:

La càrrega es calcula amb la fórmula:

\begin{equation}
Q = C \cdot V
\end{equation}

On ( V = 4 \, \text{V} ) és la tensió aplicada. Substituïm els valors:

\begin{equation}
Q = 1.15 \times 10^{-14} \, \text{F} \times 4 \, \text{V} = 4.60 \times 10^{-14} \, \text{C}
\end{equation}

2. Camp elèctric $E$:

El camp elèctric es calcula amb la fórmula:

\begin{equation}
E = \frac{V}{d}
\end{equation}

Substituïm els valors:

\begin{equation}
E = \frac{4 \, \text{V}}{30 \times 10^{-9} \, \text{m}} = 1.33 \times 10^8 \, \text{V/m}
\end{equation}

c) Càlcul de la tensió de ruptura dielèctrica

La ruptura dielèctrica es produeix quan el camp elèctric supera el límit màxim permès pel material. El valor màxim per al SiO₂ és de $10^7 \, \text{V/cm} = 10^9 \, \text{V/m}$.

Per determinar la tensió de ruptura $V_{\text{ruptura}}$, utilitzem la fórmula:

\begin{equation}
V_{\text{ruptura}} = E_{\text{ruptura}} \cdot d
\end{equation}

On ( E_{\text{ruptura}} = 10^9 \, \text{V/m} ) i ( d = 30 \times 10^{-9} \, \text{m} ). Substituïm els valors:

\begin{equation}
V_{\text{ruptura}} = 10^9 \, \text{V/m} \times 30 \times 10^{-9} \, \text{m} = 30 \, \text{V}
\end{equation}

Resum final

• Capacitat del condensador: $C = 1.15 \times 10^{-14} \, \text{F}$
• Càrrega del condensador: $Q = 4.60 \times 10^{-14} \, \text{C}$
• Camp elèctric: $E = 1.33 \times 10^8 \, \text{V/m}$
• Tensió de ruptura dielèctrica: $V_{\text{ruptura}} = 30 \, \text{V}$

Per tant, si s’aplica una tensió superior a $30 \, \text{V}$, es produiria la ruptura dielèctrica del condensador.