Sistema d’equacions

Resoldre el següent sistema d’equacions: $$\begin{cases} 3x + 2y = 2 \\ 2y + 2z = \frac{3}{2} \\ x + 4z = \frac{4}{3}\end{cases}$$

Considerem el sistema d’equacions següent:

$$\begin{align*}3x + 2y &= 2 \\ 2y + 2z &= \frac{3}{2} \\ x + 4z &= \frac{4}{3}\end{align*}$$

Per aplicar el mètode de Gauss, convertim el sistema en una matriu augmentada i realitzem eliminació de variables pas a pas.

La matriu augmentada inicial és:

\[\begin{bmatrix}3 & 2 & 0 & | & 2 \\ 0 & 2 & 2 & | & \frac{3}{2} \\1 & 0 & 4 & | & \frac{4}{3}\end{bmatrix}\]

Per eliminar \(x\) de la segona i tercera equació, fem:

• Fila (2) resta sense canvis.

• Fila (3) es transforma amb \(R_3 \leftarrow R_3 – \frac{1}{3}R_1\):

\[R_3 \leftarrow R_3 – \frac{1}{3}R_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 & | & \frac{4}{3} \end{bmatrix} – \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & | & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 – 1 & 0 – \frac{2}{3} & 4 – 0 & | & \frac{4}{3} – \frac{2}{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & -\frac{2}{3} & 4 & | & \frac{2}{3} \end{bmatrix}\]

Nova matriu:

\[\begin{bmatrix}3 & 2 & 0 & | & 2 \\0 & 2 & 2 & | & \frac{3}{2} \\0 & -\frac{2}{3} & 4 & | & \frac{2}{3}\end{bmatrix}\]

Per eliminar \(y\) de la tercera equació, fem \(R_3 \leftarrow R_3 + \frac{1}{3}R_2\):

\[R_3 \leftarrow R_3 + \frac{1}{3}R_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{2}{3} & 4 & | & \frac{2}{3} \end{bmatrix} + \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 2 & | & \frac{3}{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} & 4 + \frac{2}{3} & | & \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{14}{3} & | & \frac{7}{6} \end{bmatrix}\]

Nova matriu:

\[\begin{bmatrix}3 & 2 & 0 & | & 2 \\0 & 2 & 2 & | & \frac{3}{2} \\0 & 0 & \frac{14}{3} & | & \frac{7}{6}\end{bmatrix}\]

Ara fem substitució cap enrere:

• De (3): \(\frac{14}{3}z = \frac{7}{6} \Rightarrow z = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{14}{3}} = \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{14} = \frac{1}{4}\)

• De (2): \(2y + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2y + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2y = \frac{3}{2} – \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}\)

• De (1): \(3x + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow 3x + 1 = 2 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)

Per tant, la solució del sistema és:

\[x = \frac{1}{3}, \, y = \frac{1}{2}, \, z = \frac{1}{4}\]